# 三角函数、指数函数和对数函数的求导

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-differentiation-of-trigonometric-exponential-and/

本小节介绍核心三角函数、指数函数和对数函数的标准导数。你将学习如何将这些公式与已学的求导法则结合，解决IB考试中常见的各类微积分问题。

**先修:** [基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation-rules/); [链式法则、乘积法则和商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-chain-product-quotient-rules/); [指数与对数的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-exponential-logarithmic-functions/)

## 学习目标

- 记忆并应用正弦、余弦和正切函数的标准求导法则
- 对自然指数函数和一般指数函数求导
- 对自然对数函数和一般对数函数求导
- 将这些法则与链式法则、乘积法则和商法则结合，用于复合函数求导

## 三角函数的求导

**基础三角函数的标准导数** — 当 $x$ 以弧度为单位（微积分中的标准要求）时，导数为：$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$，$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$，$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$。

*例:* 若 $f(x) = 3\sin x$，则 $f'(x) = 3\cos x$。

对复合三角函数（形如 $f(g(x))$，其中 $f$ 是三角函数）求导时，你需要将这些标准导数公式与链式法则结合使用。

**例题:** 求 $f(x) = \tan(3x^2 + 2x)$ 的导数

1. 为应用链式法则拆分为外函数和内函数：外函数 $f(u) = \tan u$，内函数 $u = 3x^2 + 2x$
2. 分别计算两部分的导数：
3. $$\frac{df}{du} = \sec^2 u, \quad \frac{du}{dx} = 6x + 2$$
4. 应用链式法则 $\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \times \frac{du}{dx}$，然后回代 $u$：
5. $$f'(x) = (6x + 2)\sec^2(3x^2 + 2x)$$

> **考试提示:** 求解复合三角函数的导数时，一定要检查是否应用了链式法则；忘记对内函数求导是这里最常见的错误。

*计算器:* forbidden

## 指数函数的求导

**指数函数的导数** — 对于自然指数函数：$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$。对于一般指数函数 $a^x$（$a>0, a\neq 1$）：$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$。

*例:* $\frac{d}{dx}(5^x) = 5^x \ln 5$

对于形如 $e^{g(x)}$ 的复合指数函数，根据链式法则，导数可化简为 $g'(x)e^{g(x)}$。这种形式在IB考题中非常常见。

**例题:** 求 $y = x^2 e^{3x}$ 的导数，并计算 $x=0$ 处的斜率

1. 这是两个函数的乘积，因此使用乘积法则 $y' = u'v + uv'$，其中 $u=x^2$，$v=e^{3x}$
2. 分别计算两部分的导数：
3. $$u' = 2x, \quad v' = 3e^{3x}$$
4. 代入乘积法则并因式分解：
5. $$y' = 2x(e^{3x}) + x^2(3e^{3x}) = e^{3x}(2x + 3x^2)$$
6. 在 $x=0$ 处求值：
7. $$y'(0) = e^{0}(0 + 0) = 1 \times 0 = 0$$

> **考试提示:** 记住 $e^x$ 的导数就是它本身，不要像对 $x^n$ 求导那样误用幂法则。

*计算器:* forbidden

## 对数函数的求导

**对数函数的导数** — 对于自然对数（$x>0$）：$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。对于一般对数（$a>0, a\neq 1, x>0$）：$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$。

*例:* $\frac{d}{dx}(\log_{10} x) = \frac{1}{x \ln 10}$

对于形如 $\ln(g(x))$ 的复合对数函数，应用链式法则可得到简洁结果 $\frac{g'(x)}{g(x)}$。这个结论可用于对复杂乘积和商进行对数求导。

**例题:** 求 $f(x) = \ln(x^3 - 2x + 1)$ 的导数，并说明导数有效的定义域。

1. 使用复合对数 $\ln(g(x))$ 的链式法则结论，其中 $g(x) = x^3 - 2x + 1$
2. 首先计算内函数的导数：
3. $$g'(x) = 3x^2 - 2$$
4. 代入复合对数的导数公式：
5. $$f'(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x + 1}$$
6. 导数仅在原函数有定义的区域有效，即满足 $x^3 - 2x + 1 > 0$。

> **考试提示:** 记住 $\ln(g(x))$ 的导数恒为 $\frac{g'(x)}{g(x)}$，这个结论能帮你在考试中节省时间。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 错误地写出 $\frac{d}{dx}(\sin x) = -\cos x$、$\frac{d}{dx}(\cos x) = \sin x$，混淆了符号。
  - 原因: 记忆时很容易混淆正弦和余弦导数的符号。
  - 正确做法: 记住正确的导数：$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$，$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$。
- **错误做法:** 对 $e^{2x}$ 求导时忘记链式法则，错误写出 $\frac{d}{dx}(e^{2x}) = e^{2x}$。
  - 原因: 内函数 $2x$ 的导数是2，必须通过链式法则将其包含在结果中。
  - 正确做法: 应用链式法则得到 $\frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$。
- **错误做法:** 混淆 $e^x$ 和 $\ln x$ 的导数，错误写出 $\frac{d}{dx}(\ln x) = e^x$ 或 $\frac{d}{dx}(e^x) = \frac{1}{x}$。
  - 原因: 这两个核心函数的导数完全不同，学生经常会记混。
  - 正确做法: 记住：$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$，$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。
- **错误做法:** 对 $a^x$ 误用幂法则，错误写出 $\frac{d}{dx}(a^x) = x a^{x-1}$。
  - 原因: 幂法则适用于底数为变量、指数为常数的函数，不适用于底数为常数、指数为变量的函数。
  - 正确做法: 使用指数函数求导法则：$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$。

## 速查表

| 函数 | 导数 |
| --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ |
| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ |
| $e^{g(x)}$ | $g'(x)e^{g(x)}$ |

## 下一步

现在你已经掌握了这些标准导数公式，你可以将它们应用于各类微积分问题，从求曲线的斜率和切线，到解决优化问题和微分方程。这些导数是IB AA SL微积分所有后续内容的基础，因此你必须记住它们，并能够熟练地将它们与链式法则、乘积法则和商法则结合使用。接下来，你将学习如何使用这些导数解决涉及切线和法线的应用问题，然后进一步学习驻点求解和优化问题等应用。由于IB AA SL中所有高级微积分概念都建立在这些核心求导法则之上，掌握本小节内容会让所有后续微积分主题变得简单得多。

- [驻点、单调性与凹凸性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points-monotonicity-and-concavity/)
- [最优化应用问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-optimization-applications/)
- [不定积分与反求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-indefinite-integration-and-anti-differentiation/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-differentiation-of-trigonometric-exponential-and/