定积分与微积分基本定理

IB 数学 AA SL· 45 分钟阅读

1. 作为净面积的定积分★★☆☆☆⏱ 15 min

$f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分是 $y = f (x)$ 、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的净面积。x轴下方的面积贡献负值，x轴上方的面积贡献正值。

📘 定义

定积分（黎曼和定义）

\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x, \Delta x = \frac{b-a}{n}

无穷多个矩形面积和的极限，用于近似曲线下的面积

例:

对于区间 $[0, 3]$ 上的 $f (x) = 2$ ，该和收敛于 $6$ ，即矩形的面积。

📐 例题

利用面积解释求 $\int_{- 1}^{2} 2 x d x$ 表示的净面积。

1
绘制 $[- 1, 2]$ 上的 $y = 2 x$ 图像。直线在 $x = 0$ 处穿过x轴， $x < 0$ 时为负， $x > 0$ 时为正。
2
计算x轴下方三角形的面积：
3
$\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \implies \text{contribution} = -1$
4
计算x轴上方三角形的面积：
5
$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \implies \text{contribution} = +4$
6
求和得到最终净面积：
7
$\int_{-1}^2 2x dx = -1 + 4 = 3$

2. 第一微积分基本定理★★★☆☆⏱ 20 min

第一微积分基本定理省去了计算黎曼和的步骤，提供了利用原函数计算定积分的简便方法。

📘 定义

第一微积分基本定理

若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的任意原函数（ $F^{'} (x) = f (x)$ ），则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

例:

原函数中的积分常数 $C$ 在计算差值时会被抵消。

📐 例题

利用第一微积分基本定理计算 $\int_{1}^{4} (3 x^{2} + 2 e^{x}) d x$ 。

1
首先求被积函数的一般原函数：
2
$\int (3x^2 + 2e^x) dx = x^3 + 2e^x + C$
3
应用第一微积分基本定理，代入上下限后做差：
4
$\left[ x^3 + 2e^x \right]_1^4 = (4^3 + 2e^4) - (1^3 + 2e^1)$
5
化简得到最终结果：
6
$64 + 2e^4 - 1 - 2e = 63 + 2(e^4 - e)$

3. 第二微积分基本定理★★★★☆⏱ 20 min

第二微积分基本定理证明了微分和积分是互逆运算。它是变限积分求导非常常见的IB考试考点。

📘 定义

第二微积分基本定理

若 $f (t)$ 在区间 $I$ 上连续， $a$ 是 $I$ 中的常数，则对任意 $x \in I$ ： $\frac{d}{d x} (\int_{a}^{x} f (t) d t) = f (x)$

例:

当下界为常数时，微分会抵消积分的作用。

📐 例题

求 $\frac{d}{d x} (\int_{2}^{x^{3}} sin (t) d t)$ 。

1
使用链式法则：令 $u = x^{3}$ ，因此我们计算 $\frac{d}{d u} (\int_{2}^{u} sin (t) d t) \times \frac{d u}{d x}$ 。
2
对第一项应用第二微积分基本定理：导数等于代入 $u$ 后的被积函数：
3
$\frac{d}{du} \int_2^u \sin(t) dt = \sin(u)$
4
计算 $u$ 对 $x$ 的导数：
5
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
6
相乘后回代 $u = x^{3}$ ：
7
$\frac{d}{dx} \int_2^{x^3} \sin(t) dt = 3x^2 \sin(x^3)$

4. 定积分的关键性质★★☆☆☆⏱ 15 min

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ （宽度为零的区间没有面积）
$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$ （交换积分限改变符号）
$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ （常数倍法则）
$\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ （和差法则）
$\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$ （区间可加性）

📐 例题

已知 $\int_{2}^{6} f (x) d x = 10$ 且 $\int_{4}^{6} f (x) d x = 3$ ，求 $\int_{2}^{4} f (x) d x$ 。

1
应用定积分的可加性：
2
$\int_2^6 f(x) dx = \int_2^4 f(x) dx + \int_4^6 f(x) dx$
3
整理后求解要求的积分：
4
$\int_2^4 f(x) dx = 10 - 3 = 7$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算净面积时，忘记给x轴下方的面积添加负号。

原因:

定积分计算的是净面积而非几何总面积，因此负贡献会改变结果。

正确做法:

始终检查积分区间内的x截距，并给每个面积段赋予正确的符号。

错误做法:

应用第一微积分基本定理时，只代入上限，省略代入下限。

原因:

定积分是差值 $F (b) - F (a)$ ，省略 $F (a)$ 会得到错误结果。

正确做法:

始终将原函数写在带积分限的方括号中，例如 $[F (x)]_{a}^{b}$ ，再计算差值。

错误做法:

对变上限函数的积分求导时，忘记链式法则。

原因:

第二微积分基本定理仅直接适用于上限为 $x$ 而非 $x$ 的函数的情况。

正确做法:

始终使用链式法则： $\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$ 。

错误做法:

题目要求几何总面积时仍计算净面积。

原因:

学生通常直接计算定积分，导致正负面积相互抵消得到错误结果。

正确做法:

当题目要求总面积时，在x截处分段积分，取每段的绝对值后相加。

6. 速查表

概念	公式/法则
通过第一微积分基本定理计算定积分	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} = f$
第二微积分基本定理（基础情形）	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
第二微积分基本定理+链式法则	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$
交换积分限法则	$\int_{a}^{b} f d x = - \int_{b}^{a} f d x$
区间可加性	$\int_{a}^{c} f d x = \int_{a}^{b} f d x + \int_{b}^{c} f d x$
净面积	x轴上方面积减去x轴下方面积

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

定积分是IB AA SL剩余所有微积分主题的基础，从换元法到旋转体体积和微分方程。微积分基本定理是核心概念，在试卷1和试卷2考试中都经常出现，现在掌握它会为你之后节省时间和分数。接下来，你将学习如何使用换元法计算更复杂的定积分，之后再学习两条曲线间面积、旋转体体积等核心应用。扎实掌握这里的规则和常见陷阱，会让这些更高级主题更容易学习。

→换元积分法、曲线面积与旋转体体积