# 定积分与微积分基本定理

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-definite-integration-and-fundamental-theorem/

本子主题介绍定积分，讲解微积分基本定理如何连接微分与积分，并教授如何在IB考试中计算定积分和解释其结果。

**先修:** [不定积分与原函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-indefinite-integration-antiderivatives/); [常见函数的基本求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-rules-of-differentiation/)

## 学习目标

- 将定积分理解为曲线下的净面积
- 正确应用第一和第二微积分基本定理
- 计算常见函数的定积分
- 识别并避开定积分的常见考试陷阱

## 作为净面积的定积分

$f(x)$在$[a, b]$上的定积分是$y=f(x)$、x轴、$x=a$和$x=b$之间的净面积。x轴下方的面积贡献负值，x轴上方的面积贡献正值。

**定积分（黎曼和定义）** — 无穷多个矩形面积和的极限，用于近似曲线下的面积

*记法:* \int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x, \Delta x = \frac{b-a}{n}

*例:* 对于区间$[0,3]$上的$f(x)=2$，该和收敛于$6$，即矩形的面积。

**例题:** 利用面积解释求$\int_{-1}^2 2x dx$表示的净面积。

1. 绘制$[-1,2]$上的$y=2x$图像。直线在$x=0$处穿过x轴，$x<0$时为负，$x>0$时为正。
2. 计算x轴下方三角形的面积：
3. $$\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \implies \text{contribution} = -1$$
4. 计算x轴上方三角形的面积：
5. $$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \implies \text{contribution} = +4$$
6. 求和得到最终净面积：
7. $$\int_{-1}^2 2x dx = -1 + 4 = 3$$

## 第一微积分基本定理

第一微积分基本定理省去了计算黎曼和的步骤，提供了利用原函数计算定积分的简便方法。

**第一微积分基本定理** — 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$的任意原函数（$F'(x) = f(x)$），则$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

*例:* 原函数中的积分常数$C$在计算差值时会被抵消。

**例题:** 利用第一微积分基本定理计算$\int_1^4 (3x^2 + 2e^x) dx$。

1. 首先求被积函数的一般原函数：
2. $$\int (3x^2 + 2e^x) dx = x^3 + 2e^x + C$$
3. 应用第一微积分基本定理，代入上下限后做差：
4. $$\left[ x^3 + 2e^x \right]_1^4 = (4^3 + 2e^4) - (1^3 + 2e^1)$$
5. 化简得到最终结果：
6. $$64 + 2e^4 - 1 - 2e = 63 + 2(e^4 - e)$$

> **tip**
>
> 即使是简单计算，也要将原函数写在带积分限的方括号中，以表明你遵循了正确的步骤。

## 第二微积分基本定理

第二微积分基本定理证明了微分和积分是互逆运算。它是变限积分求导非常常见的IB考试考点。

**第二微积分基本定理** — 若$f(t)$在区间$I$上连续，$a$是$I$中的常数，则对任意$x \in I$：$\frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) dt \right) = f(x)$

*例:* 当下界为常数时，微分会抵消积分的作用。

**例题:** 求$\frac{d}{dx} \left( \int_2^{x^3} \sin(t) dt \right)$。

1. 使用链式法则：令$u = x^3$，因此我们计算$\frac{d}{du} \left( \int_2^u \sin(t) dt \right) \times \frac{du}{dx}$。
2. 对第一项应用第二微积分基本定理：导数等于代入$u$后的被积函数：
3. $$\frac{d}{du} \int_2^u \sin(t) dt = \sin(u)$$
4. 计算$u$对$x$的导数：
5. $$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$
6. 相乘后回代$u=x^3$：
7. $$\frac{d}{dx} \int_2^{x^3} \sin(t) dt = 3x^2 \sin(x^3)$$

## 定积分的关键性质

- $\int_a^a f(x) dx = 0$（宽度为零的区间没有面积）
- $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$（交换积分限改变符号）
- $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$（常数倍法则）
- $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$（和差法则）
- $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$（区间可加性）

**例题:** 已知$\int_2^6 f(x) dx = 10$且$\int_4^6 f(x) dx = 3$，求$\int_2^4 f(x) dx$。

1. 应用定积分的可加性：
2. $$\int_2^6 f(x) dx = \int_2^4 f(x) dx + \int_4^6 f(x) dx$$
3. 整理后求解要求的积分：
4. $$\int_2^4 f(x) dx = 10 - 3 = 7$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算净面积时，忘记给x轴下方的面积添加负号。
  - 原因: 定积分计算的是净面积而非几何总面积，因此负贡献会改变结果。
  - 正确做法: 始终检查积分区间内的x截距，并给每个面积段赋予正确的符号。
- **错误做法:** 应用第一微积分基本定理时，只代入上限，省略代入下限。
  - 原因: 定积分是差值$F(b)-F(a)$，省略$F(a)$会得到错误结果。
  - 正确做法: 始终将原函数写在带积分限的方括号中，例如$[F(x)]_a^b$，再计算差值。
- **错误做法:** 对变上限函数的积分求导时，忘记链式法则。
  - 原因: 第二微积分基本定理仅直接适用于上限为$x$而非$x$的函数的情况。
  - 正确做法: 始终使用链式法则：$\frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(t) dt = f(g(x))g'(x)$。
- **错误做法:** 题目要求几何总面积时仍计算净面积。
  - 原因: 学生通常直接计算定积分，导致正负面积相互抵消得到错误结果。
  - 正确做法: 当题目要求总面积时，在x截处分段积分，取每段的绝对值后相加。

## 速查表

| 概念 | 公式/法则 |
| --- | --- |
| 通过第一微积分基本定理计算定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a), F'=f$ |
| 第二微积分基本定理（基础情形） | $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ |
| 第二微积分基本定理+链式法则 | $\frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(t) dt = f(g(x))g'(x)$ |
| 交换积分限法则 | $\int_a^b f dx = -\int_b^a f dx$ |
| 区间可加性 | $\int_a^c f dx = \int_a^b f dx + \int_b^c f dx$ |
| 净面积 | x轴上方面积减去x轴下方面积 |

## 下一步

定积分是IB AA SL剩余所有微积分主题的基础，从换元法到旋转体体积和微分方程。微积分基本定理是核心概念，在试卷1和试卷2考试中都经常出现，现在掌握它会为你之后节省时间和分数。接下来，你将学习如何使用换元法计算更复杂的定积分，之后再学习两条曲线间面积、旋转体体积等核心应用。扎实掌握这里的规则和常见陷阱，会让这些更高级主题更容易学习。

- [换元积分法、曲线面积与旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-integration-by-substitution-area-and/)

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