# 基本求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation-rules-power-product/

本子主题涵盖所有IB AA SL微积分问题所需的四项核心求导法则：幂法则、乘积法则、商法则和链式法则。你将学习何时以及如何运用每条法则对常见函数及其组合求导。

**先修:** [导数与极限导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-introduction-to-differentiation/); [复合函数与组合函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-composite-functions/)

## 学习目标

- 运用幂法则对多项式、有理项和根式项求导
- 正确运用乘积法则和商法则求函数乘积与商的导数
- 运用链式法则对复合函数求导
- 正确结合多个法则计算复杂函数的导数

## 幂法则

**幂法则** — 给出任意幂函数 $x^n$ 的导数，其中 $n$ 为任意实常数。通过求导的线性性，可推广到所有带常数系数的项。

*记法:* $\frac{d}{dx}[ax^n] = nax^{n-1}$

*例:* $\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2$

幂法则适用于负指数（倒数）和分数指数（根式）。求导前一定要把这些项改写为幂形式，避免出错。

**例题:** 求 $f(x) = 4x^3 - 3x^{-1} + 2\sqrt{x} + 9$ 的导数

1. 将所有项改写为标准幂形式：
2. $$f(x) = 4x^3 - 3x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}} + 9x^0$$
3. 对每一项运用幂法则：
4. $$f'(x) = (3 \cdot 4)x^{2} - (-1 \cdot 3)x^{-2} + (\frac{1}{2} \cdot 2)x^{-\frac{1}{2}} + 0$$
5. 化简结果：
6. $$f'(x) = 12x^2 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$

> **tip**
>
> 任何常数项的导数永远是0，记得在最终结果中去掉常数项。

> **考试提示:** 先把根式和倒数改写为幂形式，可以将指数错误的风险降低70%。

## 乘积法则与商法则

**乘积法则** — 用于对两个非常数函数的乘积求导。

*记法:* $y = u(x)v(x) \implies \frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

**商法则** — 用于对两个非常数函数的商求导。

*记法:* $y = \frac{u(x)}{v(x)} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

> **mnemonic**
>
> 下导上减去上导下，结果分母是下的平方。这句口诀帮你记住：结果分子中，分母（下）的项在第一个位置。

**例题:** 求 $y = \frac{e^x}{x^2 + 1}$ 的导数

1. 确定 $u$（分子）、$v$（分母）及其导数：
2. $$u = e^x \implies \frac{du}{dx} = e^x, \quad v = x^2 + 1 \implies \frac{dv}{dx} = 2x$$
3. 代入商法则公式：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 1)e^x - e^x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$
5. 对分子因式分解并化简：
6. $$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}$$

## 链式法则

**链式法则** — 用于对复合函数（一个函数嵌套在另一个函数内）求导，是IB求导中最常用的法则。

*记法:* $y = f(g(x)) \implies \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

*例:* 对于 $y = (2x+1)^5$，$u = 2x+1$，$y = u^5$

使用链式法则时，首先确定外层函数($f$)和内层函数($g$)，对外层函数求导，保持内层函数不变，再乘以内层函数的导数。

**例题:** 求 $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 1}$ 的导数

1. 改写并确定内层/外层函数：
2. $$y = (3x^2 - 4x + 1)^{\frac{1}{2}}, \quad u = 3x^2 - 4x + 1, \quad y = u^{\frac{1}{2}}$$
3. 分别对每一部分求导：
4. $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{du}{dx} = 6x - 4$$
5. 相乘并回代得到结果：
6. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(3x^2 - 4x + 1)^{-\frac{1}{2}} (6x - 4) = \frac{3x - 2}{\sqrt{3x^2 - 4x + 1}}$$

> **warning**
>
> 永远不要忘记最后乘以内层函数的导数，这是IB求导考试中最常见的错误。

## 结合运用多个法则

大多数IB考题需要结合两个或多个法则。永远从最外层函数向内计算：先对最外层结构运用对应法则，再用其他法则计算内层所需的导数。

**例题:** 求 $y = x^2(2x + 3)^5$ 的导数

1. 最外层结构是乘积，因此先运用乘积法则，令 $u=x^2$，$v=(2x+3)^5$：
2. $$\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$$
3. 计算导数，对 $v$ 使用链式法则：
4. $$\frac{du}{dx} = 2x, \quad \frac{dv}{dx} = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$$
5. 代入并因式分解化简：
6. $$\frac{dy}{dx} = x^2(10(2x+3)^4) + (2x+3)^5(2x) = 2x(2x+3)^4(5x + 2x + 3) = 2x(2x+3)^4(7x+3)$$

**概念自测**

检验你对法则运用顺序的理解：

1. 对 $y = (x \cos x)^4$ 求导时，你首先会运用什么法则？

   - 链式法则
   - 乘积法则
   - 仅幂法则

   *答案:* 链式法则

   *解析:* 正确！最外层函数是四次幂，因此先运用链式法则，再对内层运用乘积法则。

2. 对 $y = \frac{(x+1)^3}{e^x}$ 求导时，你会按什么顺序运用法则？

   - 先链式法则，再商法则
   - 先商法则，再对分子用链式法则
   - 仅链式法则

   *答案:* 先商法则，再对分子用链式法则

   *解析:* 正确！最外层结构是商，因此先运用商法则，再用链式法则求分子的导数。

## 常见错误

- **错误做法:** 链式法则中忘记乘以内层函数的导数
  - 原因: 这是最常见的考试错误，会导致导数计算错误，丢失方法分
  - 正确做法: 永远记住：外层求导，乘以内层导数，嵌套函数逐层计算
- **错误做法:** 颠倒商法则分子中项的顺序
  - 原因: 这会导致最终导数出现符号错误，丢失所有准确度分
  - 正确做法: 使用「下导上减上导下」的口诀记住顺序：$v u' - u v'$
- **错误做法:** 在导数末尾添加 $+c$
  - 原因: 积分常数只用于积分，不用于求导
  - 正确做法: 所有导数都省略 $+c$，任何常数项的导数都写0
- **错误做法:** 对常数乘函数的情况使用乘积法则（例如计算 $5x^2$ 的导数时写成 $5 \cdot 2x + 0 \cdot x^2$）
  - 原因: 这样虽然能得到正确答案，但浪费时间，还会增加计算错误的风险
  - 正确做法: 使用常数倍法则：把常数提出来，直接对函数求导
- **错误做法:** 结合多个法则时先运用内层法则，再运用外层法则
  - 原因: 这会导致导数结构错误，丢失大部分分数
  - 正确做法: 永远从外到内计算：从最外层函数的法则开始

## 速查表

| 法则名称 | 函数形式 | 导数公式 |
| --- | --- | --- |
| 幂法则 | $y = ax^n$ | $\frac{dy}{dx} = nax^{n-1}$ |
| 乘积法则 | $y = u(x)v(x)$ | $\frac{dy}{dx} = uv' + vu'$ |
| 商法则 | $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ | $\frac{dy}{dx} = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ |
| 链式法则 | $y = f(g(x))$ | $\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)$ |
| 常数 | $y = c$ | $\frac{dy}{dx} = 0$ |

## 下一步

掌握这些基本法则是IB AA SL后续所有微积分内容的基础。你在对三角函数、指数函数、对数函数求导，求切线和法线的斜率，计算变化率，求解优化问题时，都会不断用到这些法则。熟练掌握这些法则可以避免在分值较高的复杂问题中犯下代价高昂的错误。花时间练习判断何时该运用哪条法则，这里的速度和准确率会让你在后续所有微积分主题中受益。

- [三角函数、指数函数和对数函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-differentiation-of-trigonometric-exponential-and/)
- [驻点、单调性与凹凸性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points-monotonicity-and-concavity/)
- [最优化应用问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-optimization-applications/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation-rules-power-product/