正态概率分布

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 4: Statistics & Probability· 45 分钟阅读

1. 正态分布的性质★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

正态概率分布

X \sim N(\mu, \sigma^2)

由对称钟形曲线描述的连续概率分布，曲线下总面积为1。可对许多自然发生的随机变量建模。

例:

成年人身高、测量误差、标准化考试分数

正态曲线关于均值 $μ$ 对称，因此任意正态分布的均值=中位数=众数。分布的离散程度由方差 $σ^{2}$ 决定：方差越大，曲线越宽越平缓。曲线渐近于横轴，即永远不会接触x轴。

📐 例题

某面包店出品的面包质量服从正态分布，均值为500g，标准差为10g。使用经验法则估算包含68%面包质量的区间。

1
回忆：68%的数据落在均值的1个标准差范围内：
2
$\mu \pm 1\sigma$
3
代入 $μ = 500$ 和 $σ = 10$ ：
4
$500 - 10 = 490, \quad 500 + 10 = 510$
5
68%的面包质量落在490g到510g之间。

Exam tip:

经验法则经常在不允许使用计算器的试卷1中考察，因此请牢记68-95-99.7这几个数值。

2. 标准正态分布与Z分数★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

Z分数

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

标准化值，表示观测值 $x$ 距离分布均值 $μ$ 有多少个标准差。

例:

比均值高1个标准差的观测值z分数为1。

任意正态分布都可以转换为标准正态分布（均值为0，标准差为1）： $Z \sim N (0, 1)$ 。这种转换让我们可以通过统一的参考基准计算任意正态分布的概率。

📐 例题

成年男性脚长服从正态分布，均值为27cm，标准差为1.5cm。求脚长29.25cm对应的z分数。

1
写出z分数公式：
2
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
3
代入 $x = 29.25$ 、 $μ = 27$ 、 $σ = 1.5$ ：
4
$z = \frac{29.25 - 27}{1.5} = \frac{2.25}{1.5} = 1.5$
5
z分数为1.5，表示29.25cm比均值高1.5个标准差。

✓ 快速检测

在同一分布中，脚长24cm对应的z分数是多少？
- -2
- 2
- -3
- 3
显示答案
A —
$z = (24 - 27) /1.5 = - 3/1.5 = - 2$ ，结果正确。负z分数表示该数值小于均值。

3. 计算正态概率★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

要计算服从正态分布的变量 $X$ 落在两个值之间的概率，我们首先将边界值转换为z分数，再计算标准正态曲线下两个z分数之间的面积。对于连续分布， $P (X = a) = 0$ ，因此 $P (a \leq X \leq b) = P (a < X < b)$ 。

📐 例题

电池寿命服从正态分布，均值为50个月，标准差为6个月。求随机选取一块电池寿命小于40个月的概率。

1
写出分布： $X \sim N (50, 6^{2})$ ，我们要求 $P (X < 40)$ 。
2
将 $x = 40$ 转换为z分数：
3
$z = \frac{40 - 50}{6} \approx -1.667$
4
使用计算器或标准正态表求 $P (Z < - 1.667)$ ：
5
$P(Z < -1.667) \approx 0.0478$
6
电池寿命小于40个月的概率约为0.048（保留3位有效数字）。

Exam tip:

除非题目另有要求，否则最终概率结果请保留3位有效数字。

4. 逆正态计算★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

当我们已知概率，需要求对应的 $x$ 值时，使用逆正态计算。常见题型包括求分布中前10%的临界分数，或根据已知概率求均值或标准差。

📐 例题

考试分数服从正态分布，均值为65，标准差为12。求进入考生前15%所需的最低分数。

1
设 $X =$ 考试分数，因此 $X \sim N (65, 1 2^{2})$ 。我们需要找到满足 $P (X > x) = 0.15$ 的 $x$ 。
2
整理得到累积概率： $P (X \leq x) = 1 - 0.15 = 0.85$ 。
3
使用逆正态计算求累积概率0.85对应的z分数： $z \approx 1.036$ 。
4
整理z分数公式求解 $x$ ：
5
$x = \mu + z\sigma = 65 + (1.036)(12) \approx 77.43$
6
所需最低分数为78（保留整数）或77.4（保留3位有效数字）。

Exam tip:

计算逆正态时请务必确认累积概率：排名前p%对应的累积概率为1 - p/100，而非p/100。

5. 常见陷阱

错误做法:

对连续正态分布的概率计算应用连续性修正

原因:

连续性修正仅用于正态近似离散二项分布的情况，不适用于原本就是连续的正态变量。

正确做法:

对于连续正态变量， $P (X < 10) = P (X \leq 10)$ ，不需要修正。

错误做法:

混淆记号 $N (μ, σ^{2})$ 中的方差和标准差

原因:

第二个参数是方差，但大多数计算器要求输入标准差，混淆二者会导致结果错误。

正确做法:

如果已知标准差 $σ$ ，记号中方差写 $σ^{2}$ ，但直接将 $σ$ 输入计算器即可。

错误做法:

逆正态计算中直接使用给定的尾部概率

原因:

如果要求前10%，逆正态的累积概率是0.9，不是0.1。使用0.1会得到负z分数，临界值错误。

正确做法:

计算逆正态前，先写出 $P (X < x) = 累积概率$ 。

错误做法:

计算最终 $x$ 值之前提前对z分数取整

原因:

将z四舍五入到一位小数（例如用1.3代替1.282）会引入误差，导致失分。

正确做法:

直到最后一步前都保留计算器给出的z的完整精度，最后再对最终答案取整。

错误做法:

忘记试卷1（不允许计算器）题目中经验法则对应的百分比

原因:

试卷1不提供正态分布表，因此经验法则题目依赖记忆。

正确做法:

考前牢记：1σ对应68%，2σ对应95%，3σ对应99.7%。

6. 速查表

概念	公式/法则	要点
一般正态分布	$X \sim N (μ, σ^{2})$	第二个参数是方差
Z分数	$z = \frac{x - μ}{σ}$	将任意正态分布标准化为 $N (0, 1)$
经验法则	68%在1σ内，95%在2σ内，99.7%在3σ内	用于不允许计算器的试卷1
求 $P (X < x)$	将x转换为z，求累积概率	结果保留3位有效数字
逆正态：求满足 $P (X < x) = p$ 的x	$x = μ + z_{p} σ$	$z_{p}$ = p处的逆累积分布函数
前10%临界值	累积概率 = 0.9	始终使用累积概率

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求重量超过临界值的概率
2024 · 2
根据给定概率范围求均值
2023 · 1
使用经验法则求区间

下一步

正态分布是大多数推断统计学的基础，掌握本子主题对于解决IB AA SL考试中的概率综合题至关重要。考试中经常会看到正态分布与其他知识点（如条件概率）结合，需要同时使用贝叶斯定理和正态概率计算。在后续学习中，正态分布可用于近似二项分布等离散分布，也是高级统计学中置信区间和假设检验的基础。请多练习概率计算和逆正态计算，确保你能应对这个高频考点的各类考题。