# 正态概率分布

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-normal-probability-distribution/

本子主题介绍正态分布（应用最广泛的连续概率分布）的性质。你将学习如何计算概率、将数值转换为标准z分数，以及解决实际应用中的逆正态问题。

**先修:** [连续概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-continuous-probability/); [集中趋势与离散程度度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 回忆正态分布曲线的关键性质
- 计算z分数以标准化任意正态分布
- 计算服从正态分布的随机变量的概率
- 解决逆正态问题，根据给定概率求临界值

## 正态分布的性质

**正态概率分布** — 由对称钟形曲线描述的连续概率分布，曲线下总面积为1。可对许多自然发生的随机变量建模。

*记法:* X \sim N(\mu, \sigma^2)

*例:* 成年人身高、测量误差、标准化考试分数

正态曲线关于均值$\mu$对称，因此任意正态分布的均值=中位数=众数。分布的离散程度由方差$\sigma^2$决定：方差越大，曲线越宽越平缓。曲线渐近于横轴，即永远不会接触x轴。

> **经验法则记忆法**
>
> 68-95-99.7：大约68%的数据落在$\mu$的1个标准差范围内，95%落在2个标准差范围内，99.7%落在3个标准差范围内。

**例题:** 某面包店出品的面包质量服从正态分布，均值为500g，标准差为10g。使用经验法则估算包含68%面包质量的区间。

1. 回忆：68%的数据落在均值的1个标准差范围内：
2. $$\mu \pm 1\sigma$$
3. 代入$\mu = 500$和$\sigma = 10$：
4. $$500 - 10 = 490, \quad 500 + 10 = 510$$
5. 68%的面包质量落在490g到510g之间。

> **考试提示:** 经验法则经常在不允许使用计算器的试卷1中考察，因此请牢记68-95-99.7这几个数值。

## 标准正态分布与Z分数

**Z分数** — 标准化值，表示观测值$x$距离分布均值$\mu$有多少个标准差。

*记法:* z = \frac{x - \mu}{\sigma}

*例:* 比均值高1个标准差的观测值z分数为1。

任意正态分布都可以转换为**标准正态分布**（均值为0，标准差为1）：$Z \sim N(0,1)$。这种转换让我们可以通过统一的参考基准计算任意正态分布的概率。

**例题:** 成年男性脚长服从正态分布，均值为27cm，标准差为1.5cm。求脚长29.25cm对应的z分数。

1. 写出z分数公式：
2. $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
3. 代入$x = 29.25$、$\mu = 27$、$\sigma = 1.5$：
4. $$z = \frac{29.25 - 27}{1.5} = \frac{2.25}{1.5} = 1.5$$
5. z分数为1.5，表示29.25cm比均值高1.5个标准差。

**概念自测**

1. 在同一分布中，脚长24cm对应的z分数是多少？

   - -2
   - 2
   - -3
   - 3

   *解析:* $z = (24 - 27)/1.5 = -3/1.5 = -2$，结果正确。负z分数表示该数值小于均值。

## 计算正态概率

要计算服从正态分布的变量$X$落在两个值之间的概率，我们首先将边界值转换为z分数，再计算标准正态曲线下两个z分数之间的面积。对于连续分布，$P(X = a) = 0$，因此$P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b)$。

**考试命令词**

- **Find the probability that X exceeds k** — 即计算$P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$

- **Find the proportion of values less than k** — 即计算$P(X < k)$

**例题:** 电池寿命服从正态分布，均值为50个月，标准差为6个月。求随机选取一块电池寿命小于40个月的概率。

1. 写出分布：$X \sim N(50, 6^2)$，我们要求$P(X < 40)$。
2. 将$x = 40$转换为z分数：
3. $$z = \frac{40 - 50}{6} \approx -1.667$$
4. 使用计算器或标准正态表求$P(Z < -1.667)$：
5. $$P(Z < -1.667) \approx 0.0478$$
6. 电池寿命小于40个月的概率约为0.048（保留3位有效数字）。

> **考试提示:** 除非题目另有要求，否则最终概率结果请保留3位有效数字。

*计算器:* allowed

## 逆正态计算

当我们已知概率，需要求对应的$x$值时，使用逆正态计算。常见题型包括求分布中前10%的临界分数，或根据已知概率求均值或标准差。

**例题:** 考试分数服从正态分布，均值为65，标准差为12。求进入考生前15%所需的最低分数。

1. 设$X = $考试分数，因此$X \sim N(65, 12^2)$。我们需要找到满足$P(X > x) = 0.15$的$x$。
2. 整理得到累积概率：$P(X \leq x) = 1 - 0.15 = 0.85$。
3. 使用逆正态计算求累积概率0.85对应的z分数：$z \approx 1.036$。
4. 整理z分数公式求解$x$：
5. $$x = \mu + z\sigma = 65 + (1.036)(12) \approx 77.43$$
6. 所需最低分数为78（保留整数）或77.4（保留3位有效数字）。

> **考试提示:** 计算逆正态时请务必确认累积概率：排名前p%对应的累积概率为1 - p/100，而非p/100。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对连续正态分布的概率计算应用连续性修正
  - 原因: 连续性修正仅用于正态近似离散二项分布的情况，不适用于原本就是连续的正态变量。
  - 正确做法: 对于连续正态变量，$P(X < 10) = P(X \leq 10)$，不需要修正。
- **错误做法:** 混淆记号$N(\mu, \sigma^2)$中的方差和标准差
  - 原因: 第二个参数是方差，但大多数计算器要求输入标准差，混淆二者会导致结果错误。
  - 正确做法: 如果已知标准差$\sigma$，记号中方差写$\sigma^2$，但直接将$\sigma$输入计算器即可。
- **错误做法:** 逆正态计算中直接使用给定的尾部概率
  - 原因: 如果要求前10%，逆正态的累积概率是0.9，不是0.1。使用0.1会得到负z分数，临界值错误。
  - 正确做法: 计算逆正态前，先写出$P(X < x) = \text{累积概率}$。
- **错误做法:** 计算最终$x$值之前提前对z分数取整
  - 原因: 将z四舍五入到一位小数（例如用1.3代替1.282）会引入误差，导致失分。
  - 正确做法: 直到最后一步前都保留计算器给出的z的完整精度，最后再对最终答案取整。
- **错误做法:** 忘记试卷1（不允许计算器）题目中经验法则对应的百分比
  - 原因: 试卷1不提供正态分布表，因此经验法则题目依赖记忆。
  - 正确做法: 考前牢记：1σ对应68%，2σ对应95%，3σ对应99.7%。

## 速查表

| 概念 | 公式/法则 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 一般正态分布 | $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ | 第二个参数是方差 |
| Z分数 | $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ | 将任意正态分布标准化为$N(0,1)$ |
| 经验法则 | 68%在1σ内，95%在2σ内，99.7%在3σ内 | 用于不允许计算器的试卷1 |
| 求$P(X < x)$ | 将x转换为z，求累积概率 | 结果保留3位有效数字 |
| 逆正态：求满足$P(X < x) = p$的x | $x = \mu + z_p\sigma$ | $z_p$ = p处的逆累积分布函数 |
| 前10%临界值 | 累积概率 = 0.9 | 始终使用累积概率 |

## 下一步

正态分布是概率论的核心主题，掌握本子主题对于解决IB AA SL考试中的概率综合题至关重要。考试中经常会看到正态分布与条件概率等其他知识点结合。请注意：贝叶斯定理仅属于AA HL，SL不作要求；二项分布的正态近似、置信区间和假设检验都属于Math AI，而非AA，不属于AA SL的范围。请多练习概率计算和逆正态计算，确保你能应对这个高频考点的各类考题。

- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-overview/)
- [极限与微分导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-introduction-to-limits-and-differentiation/)
- [基本求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation-rules-power-product/)

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