集中趋势与离散程度度量

IB 数学：分析与方法 SL· 4.4 描述统计学· 40 分钟阅读

1. 集中趋势度量★★☆☆☆⏱ 15 min

集中趋势度量描述数据集的典型值或中心值。共有三种主要度量，每种适用于不同场景。

📘 定义

均值

$\overset{x}{ˉ}$ (样本), $μ$ (总体)

所有数据值的和除以数据个数。对于分组数据，我们使用类别区间的组中值计算估计均值。

📘 定义

中位数

有序数据集的中间值。当 $n$ 为偶数时，中位数是两个中间值的平均值。

📘 定义

众数

数据集中出现频率最高的值，可用于分类数据。

📐 例题

求以下未分组数据集的均值、中位数和众数： $[2, 3, 5, 5, 7, 8, 10]$

1
通过求和再除以 $n = 7$ 计算均值：
2
$\text{Mean} = \frac{2+3+5+5+7+8+10}{7} = \frac{40}{7} \approx 5.71$
3
数据已排序， $n = 7$ （奇数），因此中位数是第 $\frac{7 + 1}{2} = 4$ 个值：
4
中位数 = $5$
5
出现频率最高的值是 $5$ ，因此众数为 $5$ 。

📐 例题

计算以下分组频数表的估计均值： $0 < x \leq 10, f = 4$ ； $10 < x \leq 20, f = 8$ ； $20 < x \leq 30, f = 3$

1
求出每个类别区间的组中值 $x$ ： $5, 15, 25$
2
计算 $\sum f x$ 和 $\sum f$ ：
3
$\sum fx = (4 \times 5) + (8 \times 15) + (3 \times 25) = 20 + 120 + 75 = 215$
4
$\sum f = 4 + 8 + 3 = 15$
5
计算估计均值：
6
$\bar{x} = \frac{215}{15} \approx 14.33$

Exam tip:

始终说明分组数据的均值是估计值而非精确值，忘记这一点可能会丢失分数。

2. 离散程度度量★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

离散程度度量描述数据值围绕集中趋势的分散程度。常见度量包括极差、四分位距（IQR）、方差和标准差。

📘 定义

标准差

数据值到均值的平均距离，单位与原始数据相同。方差是标准差的平方。

📐 例题

计算数据集 $[2, 4, 6]$ 的样本方差和标准差

1
首先计算样本均值：
2
$\bar{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4$
3
计算离均差平方和：
4
$\sum (x - \bar{x})^2 = (2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2 = 4 + 0 + 4 = 8$
5
对于样本方差，除以 $n - 1 = 2$ ：
6
$s^2 = \frac{8}{2} = 4$
7
样本标准差是方差的平方根：
8
$s = \sqrt{4} = 2$

3. 选择合适的度量★★★☆☆⏱ 15 min

度量的选择取决于分布的形状和是否存在异常值。均值会受极端值影响，而中位数和四分位距不受影响。

📐 例题

一家小商店的时薪：$12, $12, $15, $16, $18, $22, $75（经理工资）。哪种集中趋势度量最能代表典型工资？证明你的结论。

1
计算三种度量：均值 ≈ $24.29，中位数 = $16，众数 = $12
2
识别出$75是异常值，远高于其他所有工资。
3
异常值使均值偏斜，将其拉到远高于大多数员工工资的位置。众数过低，不具代表性。
4
结论：中位数是最佳度量，因为它不受极端异常值影响，能反映典型工资。

对称、无异常值的数据使用均值/标准差
偏态数据或含异常值的数据使用中位数/四分位距
仅分类数据或含重复值的离散数据使用众数

Exam tip:

如果题目要求你证明选择的合理性，你必须明确提及异常值或偏度才能得满分。

4. 五数概括法★★☆☆☆⏱ 10 min

五数概括法结合了最小值、第一四分位数( $Q_{1}$ )、中位数、第三四分位数( $Q_{3}$ )和最大值，用于构建箱线图和识别异常值。

📘 定义

四分位距 (IQR)

中间50%数据的分布范围，计算公式为 $I QR = Q_{3} - Q_{1}$

📐 例题

求以下测试分数的五数概括： $[45, 52, 60, 65, 68, 72, 75, 80, 85, 90]$

1
最小值 = 45，最大值 = 90， $n = 10$ 为偶数。
2
中位数 = 第5和第6项的平均值： $\frac{68 + 72}{2} = 70$
3
$Q_{1}$ = 下半部分（前5项）的中位数：第3项 = 60
4
$Q_{3}$ = 上半部分（后5项）的中位数：上半部分的第3项 = 80
5
五数概括： $[45, 60, 70, 80, 90]$ ， $I QR = 20$

5. 常见陷阱

错误做法:

报告分组数据的精确均值

原因:

分组数据不保留单个原始值，组中值只是近似

正确做法:

明确说明你的答案是分组数据的估计均值

错误做法:

混淆GDC输出中的样本标准差和总体标准差

原因:

IB考官仅会给题目要求的值满分

正确做法:

仔细读题：样本使用 $s_{x}$ ，总体使用 $σ_{x}$

错误做法:

对含异常值的偏态数据使用均值

原因:

异常值会将均值拉离中心，使其不具代表性

正确做法:

偏态数据使用中位数作为集中趋势度量

错误做法:

求中位数或四分位数前忘记排序数据

原因:

未排序数据会得到错误的中位数和四分位数位置

正确做法:

计算任何位置度量前始终将数据从小到大排序

错误做法:

将IQR计算为 $\frac{Q _{3} - Q _{1}}{2}$

原因:

IQR是上下四分位数的完整差值，而非差值的一半

正确做法:

直接计算IQR为 $I QR = Q_{3} - Q_{1}$

6. 速查表

度量	类型	要点
(未分组)均值	集中趋势	$\frac{\sum x}{n}$ ，受异常值影响
(分组)估计均值	集中趋势	$\frac{\sum f x}{\sum f}$ ，使用组中值，仅为估计值
中位数	集中趋势	有序数据的中间值，不受异常值影响
众数	集中趋势	出现频率最高的值，适用于分类/离散数据
极差	离散程度	$Max - Min$ ，受异常值影响
IQR	离散程度	$Q_{3} - Q_{1}$ ，中间50%数据的分布，对异常值稳健
样本方差	离散程度	$\frac{\sum ( x - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ ，适用于样本数据
总体方差	离散程度	$\frac{\sum ( x - μ ) ^{2}}{N}$ ，适用于完整总体

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
分组数据的估计均值
2023 · 2
四分位距与异常值识别
2021 · 1
证明合适集中趋势度量的合理性

下一步

集中趋势与离散程度度量是IB AA SL所有统计分析的基础。这些概念经常出现在试卷1和试卷2中，通常与数据表示、箱线图或累积频数题目结合考查。你将在后续主题中使用这些技能比较分布、分析双变量关系和描述概率分布。掌握这些计算和解释对统计题拿高分至关重要。