离散概率分布与期望

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 4: Statistics & Probability, Topic 6· 15 分钟阅读

1. 离散随机变量与有效分布★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

离散随机变量

$X$

取可数个不同值的变量，每个值对应一个随机结果。

例:

3次抛硬币中正面朝上的次数，每小时进入商店的顾客数量

离散概率分布由概率质量函数 (PMF) $p (x) = P (X = x)$ 描述，该函数给出随机变量取每个值 $x$ 的概率。一个有效的PMF必须满足两个核心条件：

所有概率满足 $0 \leq p (x) \leq 1$
所有概率之和等于 1: $\sum_{x} p (x) = 1$

📐 例题

随机变量 $X$ 的 PMF 为 $P (X = x) = k x$ ， $x = 1, 2, 3$ ，其他情况为 0。求使该分布有效的 $k$ 值。

1
利用所有概率之和必须等于 1 的条件：
2
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
3
将 PMF 代入方程：
4
$k(1) + k(2) + k(3) = 1 \implies 6k = 1$
5
求解 $k$ ，然后检查所有概率都在 0 和 1 之间：
6
$k = \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6} \in [0,1] \text{ 因此有效}$

Exam tip:

考试中被要求求常数 $k$ 时，一定要同时检查两个条件（和为1，所有概率在0到1之间）。

2. 离散分布的期望★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

期望值 (期望)

$E [X]$ or $μ$

随机变量在大量重复试验中的长期平均值，是按结果概率加权计算得到的加权平均值。

对于任意离散随机变量 $X$ ，期望用以下公式计算：

E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X=x)

📐 例题

对于有效分布 $P (X = x) = \frac{x}{6}$ ， $x = 1, 2, 3$ ，计算 $X$ 的期望值。

1
代入期望公式：
2
$E[X] = (1 \cdot \frac{1}{6}) + (2 \cdot \frac{2}{6}) + (3 \cdot \frac{3}{6})$
3
化简求和：
4
$E[X] = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$

3. 常见陷阱

错误做法:

求常数 $k$ 时只检查概率和为1，忽略 $0 \leq p (x) \leq 1$ 的条件

原因:

求解得到的 $k$ 可能会产生负概率或大于1的概率

正确做法:

求出 $k$ 后，一定要验证所有单个概率都在0到1之间

错误做法:

将期望计算为 $x$ 值的未加权平均，忽略了它们的概率

原因:

将数据的样本均值与分布的期望值混淆

正确做法:

计算期望时，一定要先将每个 $x$ 乘以其概率再求和

错误做法:

期望必须是 $X$ 的可能取值之一

原因:

错误认为期望是一个可能结果，而非长期平均值

正确做法:

期望可以是不在 $X$ 样本空间中的非整数值，这完全合理

4. 速查表

概念	公式	考试提示
有效PMF	$0 \leq P (X = x) \leq 1$ , $\sum P (X = x) = 1$	检查两个条件
期望	$E [X] = \sum x P (X = x)$	结果的加权平均
线性期望性质	$E [a X + b] = a E [X] + b$	对任意常数恒成立

深入阅读

syllabus官方IB AA SL教学大纲完整的第4单元学习目标

下一步

本子主题为你接下来在IB AA SL中学习的所有命名离散概率分布（包括二项分布）奠定了基础。你在这里学到的期望规则可以直接应用于这些分布，你可以用它们推导出命名分布的标准公式。这些概念也构成了统计推断的基础，在统计推断中你会使用样本统计量估计未知总体参数（如真实总体均值）。掌握这些计算方法是IB AA SL考试试卷1和试卷2中几乎所有概率题的要求。