# 离散概率分布、期望与方差

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-discrete-probability-distributions-expectation-and/

本子主题涵盖可数随机结果的离散概率分布、如何验证有效的概率质量函数，以及计算期望和方差，这些是IB AA SL大多数概率考试题的核心概念。

**先修:** [基础概率规则和公理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-basic-probability-rules/); [描述统计学：均值和方差](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 定义离散概率分布并验证有效的概率质量函数
- 计算离散随机变量的期望值（均值）
- 计算离散随机变量的方差和标准差
- 将期望和方差的线性性质应用于变换后的随机变量

## 离散随机变量与有效分布

**离散随机变量** — 取可数个不同值的变量，每个值对应一个随机结果。

*记法:* $X$

*例:* 3次抛硬币中正面朝上的次数，每小时进入商店的顾客数量

离散概率分布由**概率质量函数 (PMF)** $p(x) = P(X=x)$描述，该函数给出随机变量取每个值$x$的概率。一个有效的PMF必须满足两个核心条件：

- 所有概率满足 $0 \leq p(x) \leq 1$
- 所有概率之和等于 1: $\sum_{x} p(x) = 1$

**例题:** 随机变量 $X$ 的 PMF 为 $P(X=x) = kx$，$x = 1, 2, 3$，其他情况为 0。求使该分布有效的 $k$ 值。

1. 利用所有概率之和必须等于 1 的条件：
2. $$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$$
3. 将 PMF 代入方程：
4. $$k(1) + k(2) + k(3) = 1 \implies 6k = 1$$
5. 求解 $k$，然后检查所有概率都在 0 和 1 之间：
6. $$k = \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6} \in [0,1] \text{ 因此有效}$$

> **考试提示:** 考试中被要求求常数$k$时，一定要同时检查两个条件（和为1，所有概率在0到1之间）。

## 离散分布的期望

**期望值 (期望)** — 随机变量在大量重复试验中的长期平均值，是按结果概率加权计算得到的加权平均值。

*记法:* $E[X]$ or $\mu$

对于任意离散随机变量 $X$，期望用以下公式计算：

$$E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X=x)$$

> **tip**
>
> 期望是总体均值，它不必是$X$实际能取到的值。

**例题:** 对于有效分布 $P(X=x) = \frac{x}{6}$，$x=1,2,3$，计算 $X$ 的期望值。

1. 代入期望公式：
2. $$E[X] = (1 \cdot \frac{1}{6}) + (2 \cdot \frac{2}{6}) + (3 \cdot \frac{3}{6})$$
3. 化简求和：
4. $$E[X] = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$$

## 方差与标准差

**方差** — 衡量分布在期望周围离散程度的指标，等于偏离均值的平方的期望。

*记法:* $\text{Var}(X)$ or $\sigma^2$

对于IB考试，下面的计算公式几乎总是比定义式更快，且更不容易出错：

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2, \quad E[X^2] = \sum_{x} x^2 P(X=x)$$

标准差 $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ 也是离散程度的衡量指标，单位与原变量 $X$ 一致。

**例题:** 已知 $E[X] = \frac{7}{3}$，$P(X=x) = \frac{x}{6}$，$x=1,2,3$，计算 $X$ 的方差。

1. 首先计算 $X^2$ 的期望 $E[X^2]$：
2. $$E[X^2] = (1^2 \cdot \frac{1}{6}) + (2^2 \cdot \frac{2}{6}) + (3^2 \cdot \frac{3}{6}) = \frac{1 + 8 + 27}{6} = 6$$
3. 代入方差公式：
4. $$\text{Var}(X) = 6 - \left(\frac{7}{3}\right)^2 = 6 - \frac{49}{9} = \frac{5}{9} \approx 0.56$$

> **考试提示:** 如果时间不够，使用计算公式可以避免平方偏差计算错误。

## 期望与方差的性质

对于任意常数 $a$ 和 $b$，变换后的随机变量 $Y = aX + b$ 满足以下线性性质，这些性质在IB考试中被频繁考察：

- $E[aX + b] = aE[X] + b$
- $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$

> **warning**
>
> 加上常数 $b$ 不会改变方差！它只会平移所有值，不会改变它们的离散程度。

**例题:** 已知 $X$ 满足 $E[X] = 3$ 且 $\text{Var}(X) = 2$，求 $Y = 2X - 4$ 的 $E[Y]$ 和 $\text{Var}(Y)$。

1. 利用线性性质计算期望：
2. $$E[2X - 4] = 2E[X] - 4 = 2(3) - 4 = 2$$
3. 计算方差，注意常数项会消失：
4. $$\text{Var}(2X - 4) = 2^2 \text{Var}(X) = 4(2) = 8$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算$\text{Var}(aX + b)$时忘记对缩放系数$a$平方
  - 原因: 方差衡量的是平方离散程度，因此用$a$缩放时，方差变为原来的$a^2$倍，而非$a$倍
  - 正确做法: 始终使用$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$，常数项$b$会被完全消去
- **错误做法:** 求常数$k$时只检查概率和为1，忽略$0 \leq p(x) \leq 1$的条件
  - 原因: 求解得到的$k$可能会产生负概率或大于1的概率
  - 正确做法: 求出$k$后，一定要验证所有单个概率都在0到1之间
- **错误做法:** 将期望计算为$x$值的未加权平均，忽略了它们的概率
  - 原因: 将数据的样本均值与分布的期望值混淆
  - 正确做法: 计算期望时，一定要先将每个$x$乘以其概率再求和
- **错误做法:** 记错方差公式，得到$\text{Var}(X) = (E[X^2] - E[X])^2$
  - 原因: 记错计算公式中平方的位置
  - 正确做法: 平方只在第二项上：$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
- **错误做法:** 期望必须是$X$的可能取值之一
  - 原因: 错误认为期望是一个可能结果，而非长期平均值
  - 正确做法: 期望可以是不在$X$样本空间中的非整数值，这完全合理

## 速查表

| 概念 | 公式 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 有效PMF | $0 \leq P(X=x) \leq 1$, $\sum P(X=x) = 1$ | 检查两个条件 |
| 期望 | $E[X] = \sum x P(X=x)$ | 结果的加权平均 |
| 方差 | $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ | 考试使用该公式 |
| $E[X^2]$ | $E[X^2] = \sum x^2 P(X=x)$ | 计算方差的中间步骤 |
| 线性期望性质 | $E[aX + b] = aE[X] + b$ | 对任意常数恒成立 |
| 线性方差性质 | $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ | 常数$b$不改变方差 |

## 下一步

本子主题为你接下来在IB AA SL中学习的所有命名离散概率分布（包括二项分布）奠定了基础。你在这里学到的期望和方差规则可以直接应用于这些分布，你可以用它们推导出命名分布的标准公式。这些概念也构成了统计推断的基础，在统计推断中你会使用样本统计量估计未知总体参数（如真实总体均值）。掌握这些计算方法是IB AA SL考试试卷1和试卷2中几乎所有概率题的要求。

- [二项概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-binomial-probability-distribution/)
- [正态概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-normal-probability-distribution/)
- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-discrete-probability-distributions-expectation-and/