# 数据表示：直方图、箱线图、累积频率

> IB 数学：分析与方法 SL · 统计学与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-data-representation-histograms-box-plots/

本子主题涵盖总结单变量数据的核心图形方法。你将学习构建和解读直方图、箱线图和累积频率图，以便在考试题目中识别中心和离散程度的关键度量。

**先修:** [中心和离散程度度量（均值、中位数、四分位数）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-measures-centre-spread/)

## 学习目标

- 为等宽度和不等宽度分组数据构建准确的直方图
- 解读箱线图，使用1.5×IQR法则识别异常值
- 绘制累积频率图，估计四分位数/百分位数
- 使用这些图形表示比较分布

## 分组数据的直方图

直方图用于可视化分组连续（或分组离散）数据。与分类数据的条形图不同，直方图中每个条形的**面积**与组频率成正比，而非高度成正比。对于等宽度组距，高度等于频率。对于不等组距，我们需要计算频率密度得到正确的条形高度。

**频率密度** — 单位组距的频率，等于直方图条形的高度。这确保了条形面积等于组频率$f$，其中$w$是组距。

*记法:* $fd = \frac{f}{w}$

*例:* 对于0-10组，频率为15，频率密度 = $\frac{15}{10} = 1.5$

**例题:** 50株植物高度的数据集分为以下组：10-15（f=8），15-20（f=12），20-30（f=20），30-50（f=10）。计算每个直方图条形的高度。

1. 计算每个组的组距和频率密度：
2. 10-15：组距 = 5，$fd = \frac{8}{5} = $

   $$1.6$$
3. 15-20：组距 = 5，$fd = \frac{12}{5} = $

   $$2.4$$
4. 20-30：组距 = 10，$fd = \frac{20}{10} = $

   $$2.0$$
5. 30-50：组距 = 20，$fd = \frac{10}{20} = $

   $$0.5$$
6. 条形高度就是上述计算得到的频率密度值。

> **考试提示:** 考官经常考察不等组距的分组。绘制直方图前一定要检查组距。

## 箱线图与异常值

箱线图（箱须图）使用五数概括总结分布，便于识别离散程度、中心和异常值。考试中也常用来比较两个或多个分布。

**1.5×IQR 异常值法则** — 如果一个值小于$Q_1 - 1.5 \times IQR$或大于$Q_3 + 1.5 \times IQR$，则该值被分类为异常值，其中$IQR = Q_3 - Q_1$。

**例题:** 一个数据集的五数概括为：最小值 = 12，Q1 = 20，中位数 = 25，Q3 = 30，最大值 = 48。识别异常值并描述箱线图。

1. 计算四分位距：

   $$IQR = 30 - 20 = 10$$
2. 计算异常值边界：
3. 下界 = $20 - 1.5(10) = 5$，上界 = $30 + 1.5(10) = 45$
4. 检查异常值：48 > 45，因此48是异常值。
5. 箱线图的箱体从Q1=20到Q3=30，中位数线在25处，下须延伸到最小值12，上须延伸到最大非异常值45，48标记为独立点。

> **考试提示:** 比较两个箱线图时，一定要同时说明中心（中位数差异）和离散程度（IQR差异）才能得满分。

## 累积频率图

累积频率图将观测值的累加和（累积频率）对每个组的上限作图。该图可用于估计分组数据的中位数、四分位数和任意百分位数，因为分组数据无法精确计算这些值。

**累积频率** — 值小于等于当前组上限的观测总数，范围从0到总观测数$n$。

**例题:** 满分50分的测试成绩分组为：0-10（f=5），10-20（f=12），20-30（f=18），30-40（f=10），40-50（f=5）。从累积频率图估计中位数。

1. 计算每个上限处的累积频率：
2. 上限10：cf=5，上限20：cf=17，上限30：cf=35，上限40：cf=45，上限50：cf=50
3. 总共有$n=50$个数据，因此中位数对应累积频率轴上的$\frac{n}{2} = 25$。
4. 绘制点$(\text{组上限}, cf)$并用光滑曲线连接。从cf=25水平画线到曲线，再向下画线到x轴。
5. 估计的中位数约为24。

> **考试提示:** 一定要将累积频率绘制在组上限处，而非组中点。这是考试中非常常见的错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于不等组距直方图，将频率直接作为条形高度
  - 原因: 每个条形的面积必须等于频率，因此宽组未调整的高度会高估其频率
  - 正确做法: 计算频率密度 = 频率 / 组距，将其作为条形高度
- **错误做法:** 将箱线图的须延伸以包含异常值
  - 原因: 异常值是不代表主体分布的极端值
  - 正确做法: 将异常值标记为独立点，须仅绘制到最近的非异常值
- **错误做法:** 将累积频率绘制在每组的组中点
  - 原因: 累积频率统计所有小于组上限的值，绘制在中点会使曲线左移
  - 正确做法: 将每个累积频率值绘制在对应组的组上限处
- **错误做法:** 在累积频率图上使用$(n+1)/2$计算中位数位置
  - 原因: 这个公式适用于离散未分组数据，不适用于分组数据的中位数估计
  - 正确做法: 对于累积频率估计，中位数使用$n/2$，Q1使用$n/4$，Q3使用$3n/4$

## 速查表

| 图形类型 | 核心用途 | 核心法则 |
| --- | --- | --- |
| 直方图 | 总结分组连续数据 | 面积 = 频率；不等组距的高度 = 频率/组距 |
| 箱线图 | 展示五数概括，寻找异常值，比较分布 | 异常值 = 超出$Q_1 - 1.5IQR$ 到 $Q_3 + 1.5IQR$ 范围 |
| 累积频率图 | 估计中位数、四分位数和百分位数 | 累积频率对组上限作图；中位数在$n/2$处 |

## 下一步

掌握这些数据表示技术是IB AA SL所有描述统计学和推断统计学的基础。这些图形经常出现在Paper 1和Paper 2的多问统计题第一部分，也用于解读更高级主题（如相关性、回归和假设检验）的结果。能够正确构建和解读这些图形可以帮助你避免在考试中丢失简单的方法分，如果你选择学习定量学科，也能为大学阶段的统计学做好准备。

- [集中趋势与离散程度度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-measures-of-central-tendency-and/)
- [累积分布函数与百分位数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-cumulative-distributions-and-percentiles/)
- [概率、条件概率与独立事件](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-probability-conditional-probability-and-independent/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-data-representation-histograms-box-plots/