累积分布函数与百分位数

IB 数学 AA SL· Unit 4: Statistics & Probability· 15 分钟阅读

1. 1. 累积分布函数（CDF）基础★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

累积分布函数（CDF）

$F (x) = P (X \leq x)$

对于任意随机变量 $X$ ，CDF给出 $X$ 取值小于等于给定输入 $x$ 的总概率，取值范围为0到1。

例:

对于一枚均匀六面骰子， $F (3) = P (X \leq 3) = 0.5$

对于离散随机变量，CDF是阶梯函数，由每个 $x$ 之前的所有单个概率相加得到。对于连续随机变量，CDF是连续递增函数，由概率密度函数（PDF）从负无穷到 $x$ 积分得到。

📐 例题

离散随机变量 $X$ 的概率分布为： $P (X = 1) = 0.2$ , $P (X = 2) = 0.3$ , $P (X = 3) = 0.4$ , $P (X = 4) = 0.1$ 。计算完整的CDF $F (x)$ 。

1
对于 $x$ 小于最小结果1：没有累积概率：
2
$F(x) = 0 \quad \text{for } x < 1$
3
对于 $1 \leq x < 2$ ，将1及之前的概率相加：
4
$F(x) = 0.2$
5
对于 $2 \leq x < 3$ ，加上 $X = 2$ 的概率：
6
$F(x) = 0.2 + 0.3 = 0.5$
7
对于 $3 \leq x < 4$ ，加上 $X = 3$ 的概率：
8
$F(x) = 0.5 + 0.4 = 0.9$
9
对于 $x \geq 4$ ，所有概率都已累积：
10
$F(x) = 0.9 + 0.1 = 1 \quad \text{for } x \geq 4$

2. 2. 计算百分位数与中位数★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

第k百分位数

第 $k$ 百分位数 $p_{k}$ 是满足 $F (p_{k}) = \frac{k}{100}$ 的 $X$ 值。中位数就是第50百分位数。

对于离散随机变量，如果 $F (x)$ 永远不等于 $\frac{k}{100}$ ，则百分位数是满足 $F (x) \geq \frac{k}{100}$ 的最小 $x$ 值。对于连续随机变量，你可以直接解方程 $F (x) = \frac{k}{100}$ 得到精确值。

📐 例题

求上一节计算出的CDF的第50百分位数（中位数）。

1
写出第50百分位数的条件：
2
$F(p_{50}) = \frac{50}{100} = 0.5$
3
检查CDF值： $F (2) = 0.5$ ，完全满足条件。
4
因此，第50百分位数（中位数）是2。

📐 例题

连续随机变量 $X$ 的CDF为 $F (x) = 0.2 x$ ，定义域 $0 \leq x \leq 5$ 。求第25百分位数。

1
建立百分位数条件：
2
$F(p_{25}) = 0.25$
3
代入CDF表达式并求解：
4
$0.2 p_{25} = 0.25 \implies p_{25} = \frac{0.25}{0.2} = 1.25$

3. 3. 从CDF计算四分位距（IQR）★★★☆☆⏱ 4 min

四分位距是一种忽略离群值的常用离散程度度量，计算公式为 $I QR = Q_{3} - Q_{1}$ ，其中 $Q_{1}$ （第一四分位数）是第25百分位数， $Q_{3}$ （第三四分位数）是第75百分位数。要从CDF得到四分位距，你只需要计算两个四分位数再做差即可。

📐 例题

连续随机变量 $X$ 的CDF为 $F (x) = \frac{x ^{2}}{16}$ ，定义域 $0 \leq x \leq 4$ 。计算四分位距。

1
求 $Q_{1}$ （第25百分位数）：令 $F (Q_{1}) = 0.25$ ：
2
$\frac{Q_1^2}{16} = 0.25 \implies Q_1^2 = 4 \implies Q_1 = 2$
3
求 $Q_{3}$ （第75百分位数）：令 $F (Q_{3}) = 0.75$ ：
4
$\frac{Q_3^2}{16} = 0.75 \implies Q_3^2 = 12 \implies Q_3 = 2\sqrt{3} \approx 3.464$
5
计算IQR：
6
$IQR = Q_3 - Q_1 = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1.46$

4. 常见陷阱

错误做法:

对离散CDF使用 $P (X < x)$ 而非 $P (X \leq x)$

原因:

这会改变离散分布的累积概率值，导致百分位数计算错误

正确做法:

计算离散CDF的累积概率时，始终包含当前的 $x$ 值

错误做法:

直接使用PDF求百分位数

原因:

PDF值不代表累积概率，因此解方程 $f (x) = 0.5$ 得不到中位数

正确做法:

始终先积分PDF得到CDF，再用CDF求百分位数

错误做法:

当F(x) ≠ k/100时，为离散百分位数选择错误的x

原因:

很多学生选择最后一个满足F(x) < k/100的x，这违背了定义

正确做法:

对于离散分布，始终选择满足F(x) ≥ k/100的最小x

错误做法:

忘记检查CDF的终点值为1

原因:

求和或积分错误导致F(x)不等于1，会使所有百分位数计算出错

正确做法:

在计算任何百分位数或四分位数之前，始终验证 $F (ma x (X)) = 1$

5. 速查表

概念	离散随机变量	连续随机变量
CDF	$F (x) = \sum_{t \leq x} P (X = t)$	$F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$
第k百分位数规则	满足 $F (x) \geq \frac{k}{100}$ 的最小 $x$	解方程 $F (x) = \frac{k}{100}$ 求 $x$
四分位数	$Q_{1} = 2 5^{t h}, Q_{3} = 7 5^{t h}$ 百分位数	$Q_{1} = 2 5^{t h}, Q_{3} = 7 5^{t h}$ 百分位数
IQR公式	$I QR = Q_{3} - Q_{1}$	$I QR = Q_{3} - Q_{1}$

6. 常见问题

CDF和PDF有什么区别？

PDF（概率密度/质量函数）给出 $X$ 取某个特定值的概率，而CDF给出 $X$ 小于等于某个特定值的累积概率。计算百分位数时始终需要用到CDF。

当离散型CDF中F(x)永远不等于k/100时，如何求百分位数？

根据定义，你需要选择满足 $F (x) \geq \frac{k}{100}$ 的最小 $x$ 值，这是IB考试采用的惯例。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
从连续CDF中求中位数
2022 · 2
从离散CDF计算四分位距

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下一步

理解累积分布和百分位数是你在IB AA SL中学习更高级统计概念的基础，包括正态分布概率计算、置信区间和描述性数据分析。这些技能经常在IB考试的试卷1和试卷2中考查，通常与离散概率分布、箱线图等其他主题结合考查。掌握CDF和百分位数也能帮助你在内部评估项目中解释和总结统计结果。