# 累积分布函数与百分位数

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-cumulative-distributions-and-percentiles/

本子主题涵盖离散和连续随机变量的累积分布函数（CDFs），以及如何使用CDF计算百分位数、四分位数、中位数和四分位距，这些都是IB AA SL统计考试的核心技能。

**先修:** [概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-probability-distributions/); [描述统计学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 定义离散和连续随机变量的累积分布函数
- 从累积分布计算百分位数、四分位数和中位数
- 从累积分布计算四分位距
- 在统计情境中解释百分位数

## 1. 累积分布函数（CDF）基础

**累积分布函数（CDF）** — 对于任意随机变量$X$，CDF给出$X$取值小于等于给定输入$x$的总概率，取值范围为0到1。

*记法:* $F(x) = P(X \leq x)$

*例:* 对于一枚均匀六面骰子，$F(3) = P(X \leq 3) = 0.5$

对于离散随机变量，CDF是阶梯函数，由每个$x$之前的所有单个概率相加得到。对于连续随机变量，CDF是连续递增函数，由概率密度函数（PDF）从负无穷到$x$积分得到。

**例题:** 离散随机变量$X$的概率分布为：$P(X=1)=0.2$, $P(X=2)=0.3$, $P(X=3)=0.4$, $P(X=4)=0.1$。计算完整的CDF $F(x)$。

1. 对于$x$小于最小结果1：没有累积概率：
2. $$F(x) = 0 \quad \text{for } x < 1$$
3. 对于$1 \leq x < 2$，将1及之前的概率相加：
4. $$F(x) = 0.2$$
5. 对于$2 \leq x < 3$，加上$X=2$的概率：
6. $$F(x) = 0.2 + 0.3 = 0.5$$
7. 对于$3 \leq x < 4$，加上$X=3$的概率：
8. $$F(x) = 0.5 + 0.4 = 0.9$$
9. 对于$x \geq 4$，所有概率都已累积：
10. $$F(x) = 0.9 + 0.1 = 1 \quad \text{for } x \geq 4$$

> **info**
>
> 所有有效的CDF在$X$的最小值处取值为0，在$X$的最大值处取值为1。你可以用这个性质检查计算结果。

## 2. 计算百分位数与中位数

**第k百分位数** — 第$k$百分位数$p_k$是满足$F(p_k) = \frac{k}{100}$的$X$值。中位数就是第50百分位数。

对于离散随机变量，如果$F(x)$永远不等于$\frac{k}{100}$，则百分位数是满足$F(x) \geq \frac{k}{100}$的最小$x$值。对于连续随机变量，你可以直接解方程$F(x) = \frac{k}{100}$得到精确值。

**例题:** 求上一节计算出的CDF的第50百分位数（中位数）。

1. 写出第50百分位数的条件：
2. $$F(p_{50}) = \frac{50}{100} = 0.5$$
3. 检查CDF值：$F(2) = 0.5$，完全满足条件。
4. 因此，第50百分位数（中位数）是2。

**例题:** 连续随机变量$X$的CDF为$F(x) = 0.2x$，定义域$0 \leq x \leq 5$。求第25百分位数。

1. 建立百分位数条件：
2. $$F(p_{25}) = 0.25$$
3. 代入CDF表达式并求解：
4. $$0.2 p_{25} = 0.25 \implies p_{25} = \frac{0.25}{0.2} = 1.25$$

## 3. 从CDF计算四分位距（IQR）

四分位距是一种忽略离群值的常用离散程度度量，计算公式为$IQR = Q_3 - Q_1$，其中$Q_1$（第一四分位数）是第25百分位数，$Q_3$（第三四分位数）是第75百分位数。要从CDF得到四分位距，你只需要计算两个四分位数再做差即可。

**例题:** 连续随机变量$X$的CDF为$F(x) = \frac{x^2}{16}$，定义域$0 \leq x \leq 4$。计算四分位距。

1. 求$Q_1$（第25百分位数）：令$F(Q_1) = 0.25$：
2. $$\frac{Q_1^2}{16} = 0.25 \implies Q_1^2 = 4 \implies Q_1 = 2$$
3. 求$Q_3$（第75百分位数）：令$F(Q_3) = 0.75$：
4. $$\frac{Q_3^2}{16} = 0.75 \implies Q_3^2 = 12 \implies Q_3 = 2\sqrt{3} \approx 3.464$$
5. 计算IQR：
6. $$IQR = Q_3 - Q_1 = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1.46$$

> **tip**
>
> 除非题目另有说明，IB考试接受四分位距的精确简化形式和保留三位有效数字的近似值。

## 常见错误

- **错误做法:** 对离散CDF使用$P(X < x)$而非$P(X \leq x)$
  - 原因: 这会改变离散分布的累积概率值，导致百分位数计算错误
  - 正确做法: 计算离散CDF的累积概率时，始终包含当前的$x$值
- **错误做法:** 直接使用PDF求百分位数
  - 原因: PDF值不代表累积概率，因此解方程$f(x) = 0.5$得不到中位数
  - 正确做法: 始终先积分PDF得到CDF，再用CDF求百分位数
- **错误做法:** 当F(x) ≠ k/100时，为离散百分位数选择错误的x
  - 原因: 很多学生选择最后一个满足F(x) < k/100的x，这违背了定义
  - 正确做法: 对于离散分布，始终选择满足F(x) ≥ k/100的最小x
- **错误做法:** 忘记检查CDF的终点值为1
  - 原因: 求和或积分错误导致F(x)不等于1，会使所有百分位数计算出错
  - 正确做法: 在计算任何百分位数或四分位数之前，始终验证$F(max(X)) = 1$

## 速查表

| 概念 | 离散随机变量 | 连续随机变量 |
| --- | --- | --- |
| CDF | $F(x) = \sum_{t \leq x} P(X=t)$ | $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$ |
| 第k百分位数规则 | 满足$F(x) \geq \frac{k}{100}$的最小$x$ | 解方程$F(x) = \frac{k}{100}$求$x$ |
| 四分位数 | $Q_1 = 25^{th}, Q_3 = 75^{th}$ 百分位数 | $Q_1 = 25^{th}, Q_3 = 75^{th}$ 百分位数 |
| IQR公式 | $IQR = Q_3 - Q_1$ | $IQR = Q_3 - Q_1$ |

## 下一步

理解累积分布和百分位数是你在IB AA SL中学习更高级统计概念的基础，包括正态分布概率计算和描述性数据分析。请注意：置信区间——有时会与这部分内容归在一起——属于Math AI，而非AA，不属于AA SL的要求范围。这些技能经常在IB考试的试卷1和试卷2中考查，通常与离散概率分布、箱线图等其他主题结合考查。掌握CDF和百分位数也能帮助你在内部评估项目中解释和总结统计结果。

- [概率、条件概率与独立事件](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-probability-conditional-probability-and-independent/)
- [离散概率分布、期望与方差](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-discrete-probability-distributions-expectation-and/)
- [二项概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-binomial-probability-distribution/)

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