# 二项概率分布

> IB 数学 AA SL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-binomial-probability-distribution/

本小节介绍离散二项概率分布，它是独立重复试验中应用最广泛的分布之一。你将学习如何判断符合二项分布的场景、计算概率，以及求解分布的关键参数。

**先修:** [组合与二项式系数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-combinations/); [离散随机变量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-discrete-random-variables/); 基础概率法则

## 学习目标

- 根据核心条件判断符合二项分布的场景
- 使用公式和GDC计算二项概率（单个和累积）
- 计算二项分布的期望、方差和标准差
- 解决涉及二项概率的实际应用问题

## 二项分布的条件

**二项随机变量** — 一种离散随机变量，用于统计随机试验中固定次数的独立相同试验里成功结果的数量。

*记法:* $X \sim \text{B}(n, p)$，其中 $n$ = 试验次数，$p$ = 单次试验成功的概率

> **二项分布条件的BINS记忆法**
>
> 分布要成为二项分布，必须满足全部四个条件：
> 1. **B**inary（二元）：每次试验只有两种结果（成功/失败）
> 2. **I**ndependent（独立）：各试验之间互不影响
> 3. **N**umber fixed（次数固定）：试验总次数 $n$ 是确定的
> 4. **S**ame probability（概率恒定）：所有试验的成功概率 $p$ 保持不变

**例题:** 判断以下场景是否符合二项分布：抛一枚不均匀硬币，$P(\text{heads}) = 0.6$，抛15次，统计得到正面的次数。如果符合二项分布，写出$n$和$p$。

1. 逐一检查BINS的四个条件：
2. 1. 二元：每次抛硬币只有两种结果：正面（成功）或反面（失败）。条件满足。
3. 2. 独立：一次抛硬币的结果不会改变其他抛硬币的概率。条件满足。
4. 3. 试验次数固定：$n = 15$，是固定值。条件满足。
5. 4. 概率恒定：所有抛硬币试验的$p = 0.6$。条件满足。
6. 结论：这是一个二项分布，参数为：
7. $$n = 15, \quad p = 0.6$$

**概念自测**

以下哪个场景符合二项分布？

1. 抛均匀骰子10次，统计掷出6点的次数

   - 是，符合二项分布
   - 否，不符合二项分布

   *答案:* 是，符合二项分布

   *解析:* 正确：所有BINS条件都满足。

2. 调查50个人每周锻炼的时长

   - 是，符合二项分布
   - 否，不符合二项分布

   *答案:* 否，不符合二项分布

   *解析:* 正确：结果不是二元的，因此不符合二项分布。

## 二项概率公式

**二项概率质量函数** — 在$n$次独立试验中恰好得到$k$次成功的概率由以下公式给出。

*例:* 用于计算精确值$k$对应的$P(X=k)$

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**例题:** 若$X \sim \text{B}(4, 0.25)$，求$P(X=2)$。

1. 确定参数：$n=4$, $k=2$, $p=0.25$, $1-p=0.75$
2. 计算二项式系数：
3. $$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$$
4. 代入二项概率公式：
5. $$P(X=2) = 6 \times (0.25)^2 \times (0.75)^2$$
6. 化简并保留三位有效数字：
7. $$P(X=2) = 0.211$$

> **tip**
>
> 在IB考试中，你可以直接使用GDC计算二项概率。始终用GDC验证你的手动计算，避免算术错误。

## 期望与方差

对于任意二项分布，我们可以使用推导得到的简单公式计算期望（均值）和方差，不需要对$X$的所有可能值求和。

**二项分布参数** — 对于$X \sim \text{B}(n,p)$，期望（均值）和方差由以下简单公式给出：

- 期望：$E(X) = np$
- 方差：$\text{Var}(X) = np(1-p)$
- 标准差：$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

**例题:** 一名篮球运动员罚球命中的概率为0.8，各次罚球相互独立。如果她罚10次，求命中次数的期望和标准差。

1. 定义随机变量：设$X$ = 命中次数，$X \sim \text{B}(10, 0.8)$
2. 计算命中次数的期望：
3. $$E(X) = np = 10 \times 0.8 = 8$$
4. 先计算方差：
5. $$\text{Var}(X) = np(1-p) = 10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6$$
6. 计算标准差，保留三位有效数字：
7. $$\sigma = \sqrt{1.6} \approx 1.26$$

## 累积二项概率问题

大多数IB考题要求计算累积概率，例如“最多3次成功”或“至少5次成功”，而不是恰好$k$次成功的概率。你可以通过累加单个概率得到结果，也可以直接使用GDC的累积二项分布功能计算。

> **exam_tip**
>
> 始终明确重写题目中的不等式，避免边界错位错误。例如：$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$，且$P(X < k) = P(X \leq k-1)$。

**例题:** 某群体中70%的选民支持一项新政策。如果随机抽取12名选民，求至少有8名选民支持该政策的概率，结果保留三位有效数字。

1. 定义随机变量：设$X$ = 支持该政策的人数，$X \sim \text{B}(12, 0.7)$
2. 将“至少8名”改写为不等式：$X \geq 8$，整理为累积概率形式：
3. $$P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7)$$
4. 使用GDC得到累积概率$P(X \leq 7) \approx 0.3487$
5. 计算最终结果：
6. $$P(X \geq 8) = 1 - 0.3487 \approx 0.651$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 从小总体无放回抽样时，默认任意成功计数都符合二项分布
  - 原因: 各试验不独立，因为取出一个样本会改变下一次试验的概率
  - 正确做法: 对小总体使用超几何分布，仅当样本量小于总体的10%时才近似为二项分布
- **错误做法:** 计算“至少k次成功”时，错误得到$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k)$
  - 原因: 这是边界错位错误，会错误包含或排除边界值
  - 正确做法: 始终明确重写不等式：$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- **错误做法:** 计算期望时混淆$p$和$1-p$
  - 原因: 混淆了你统计的结果对应的成功概率和失败概率
  - 正确做法: $E(X) = n \times p$，其中$p$是你统计的结果对应的概率，无论该结果是否被标记为"成功"
- **错误做法:** 将二项随机变量当作连续变量处理
  - 原因: 将二项分布和用于近似的正态分布混淆
  - 正确做法: 二项分布始终是离散分布，因为它统计的是成功次数的整数

## 速查表

| 性质 | 法则/公式 |
| --- | --- |
| 记号 | $X \sim \text{B}(n, p)$ |
| 条件 | B: 二元，I: 独立，N: 固定n，S: 恒定p |
| $P(X=k)$ | $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ |
| 期望 | $E(X) = np$ |
| 方差 | $\text{Var}(X) = np(1-p)$ |
| $P(X \leq k)$ | 使用GDC累积二项函数 |
| $P(X \geq k)$ | $1 - P(X \leq k-1)$ |
| $P(X < k)$ | $P(X \leq k-1)$ |

## 下一步

二项概率是几乎所有应用统计分析的核心基础，从民意调查到制造业质量控制都有应用。掌握二项分布的条件也能帮助你判断某个情境何时不符合二项模型。二项分布也是比例推断的基础，这是大学入门统计学和假设检验中的核心主题。本主题也自然引出正态分布，当$n$很大时，我们会用正态分布近似二项概率。

- [正态概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-normal-probability-distribution/)
- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-overview/)
- [极限与微分导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-introduction-to-limits-and-differentiation/)

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