学习指南

正弦定理、余弦定理与三角形面积

IB 数学：分析与方法 SL· 第三单元：几何与三角学· 15 分钟阅读

1. 正弦定理★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

正弦定理

For triangle with sides opposite angles

三角形中，每条边与其对角正弦值的比值对所有边和角都相等

例:

若，，，我们可以求解

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

正弦定理适用于两种情况：(1) 已知两角和一边，或(2) 已知两边和一个非夹角。

📐 例题

在三角形中，，， cm。求边的长度。

  1. 1

    根据已知值写出正弦定理：

    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
  2. 2

    代入已知值：

    8sin⁡40∘=bsin⁡60∘\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}
  3. 3

    整理式子得到：

    b=8×sin⁡60∘sin⁡40∘b = \frac{8 \times \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}
  4. 4

    计算并保留三位有效数字：

    b≈10.8 cmb \approx 10.8 \text{ cm}

Exam tip:

一定要给边标注对应对角，避免混淆数值。

2. 正弦定理的歧义情况（两解情况）★★★★☆⏱ 5 min

歧义情况仅发生在已知**边边角（SSA）**条件（两边、非夹角）且已知角为锐角时。符合条件的有效三角形可能有0个、1个或2个。

📘 定义

歧义情况（两解情况）

相同的边边角（SSA）输入可以构造出两个不同的有效三角形，得到两个正确解的情况

📐 例题

已知三角形中，，，求角所有可能的度数。

  1. 1

    应用正弦定理：

    sin⁡Bb=sin⁡Aa\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}
  2. 2

    代入数值求解：

    sin⁡B=9×sin⁡35∘7≈0.738\sin B = \frac{9 \times \sin 35^\circ}{7} \approx 0.738
  3. 3

    利用恒等式得到两个解：

    B1=arcsin⁡(0.738)≈47.6∘,B2=180∘−47.6∘=132.4∘B_1 = \arcsin(0.738) \approx 47.6^\circ, \quad B_2 = 180^\circ - 47.6^\circ = 132.4^\circ
  4. 4

    验证有效性：，因此两个解都有效。

3. 余弦定理★★★☆☆⏱ 4 min

📘 定义

余弦定理

For triangle with sides opposite angles

建立了三角形三边和其中一个角的关系，有两种常用形式，分别用于求边和求角

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

余弦定理适用于两种情况：(1) 已知三边求角，或(2) 已知两边及其夹角求第三边。余弦定理不存在歧义情况。

📐 例题

在三角形中， cm， cm，夹角。求边的长度。

  1. 1

    已知两边及其夹角，使用余弦定理的求边形式：

    a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
  2. 2

    代入已知值：

    a2=42+62−2(4)(6)cos⁡50∘a^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6)\cos 50^\circ
  3. 3

    计算等式右侧：

    a2=16+36−48(0.6428)≈21.15a^2 = 16 + 36 - 48(0.6428) \approx 21.15
  4. 4

    开平方并保留三位有效数字：

    a≈4.60 cma \approx 4.60 \text{ cm}

Exam tip:

用余弦定理求角时，的符号可以直接告诉你角是锐角（）还是钝角（），不需要额外检查。

4. 任意三角形的面积★★☆☆☆⏱ 2 min

📘 定义

斜三角形的面积

任意三角形（直角或斜三角形）的面积等于两边长度乘积乘以其夹角正弦值的一半

Area=12absin⁡CArea = \frac{1}{2}ab \sin C

如果你不知道夹角，可以先用正弦定理或余弦定理求出夹角，再代入该公式。

📐 例题

求三角形的面积，其中 cm， cm，处的角为。

  1. 1

    确定两条边及其夹角：，，夹角

  2. 2

    代入面积公式：

    Area=12×5×7×sin⁡30∘Area = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 30^\circ
  3. 3

    利用计算：

    Area=8.75 cm2Area = 8.75 \text{ cm}^2

5. 常见陷阱

错误做法:

正弦定理中混淆边和角，使用而非

原因:

正弦定理要求每条边除以其对角的正弦值，而非邻角。

正确做法:

开始计算前，给边标注小写字母，对应其对角的大写字母。

错误做法:

在边边角歧义情况中忘记检查第二个解

原因:

大多数学生只计算锐角解，漏掉了有效的钝角解，因此丢分。

正确做法:

一定要计算，再检查三个角的和是否小于，判断该解是否有效。

错误做法:

已知两边及其夹角时使用正弦定理

原因:

这种情况下你没有对边对角组，无法直接应用正弦定理。

正确做法:

先用余弦定理求出第三边，如果需要其他角再用正弦定理。

错误做法:

使用非夹角代入公式

原因:

该公式仅当角是你使用的两条边的夹角时才成立。

正确做法:

计算面积前，先用正弦或余弦定理求出夹角。

错误做法:

过早对中间步骤四舍五入，导致最终答案不准确

原因:

过早四舍五入会引入累积误差，可能改变最终结果，导致丢掉准确度分。

正确做法:

在最终步骤前，计算器保留全部精度，最后再按要求保留有效数字位数。

6. 速查表

场景

应使用的定理/公式

两角 + 一边

正弦定理

两边 + 非夹角 (SSA)

正弦定理（检查是否有两个解）

两边 + 夹角 (SAS)

余弦定理求未知边，再用求面积

三边 (SSS)

余弦定理求未知角

任意三角形面积（已知SAS）

7. 常见问题

什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？

当你已知一组对边对角，还已知另一个边或角时，使用正弦定理。当你已知三条边，或者已知两边及其夹角，没有对边对角组时，使用余弦定理。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2025 · 1

    求未知边和三角形面积

  • 2024 · 2

    求解正弦定理的歧义问题

  • 2023 · 1

    结合多个定理求未知角

深入阅读

下一步

掌握正弦定理和余弦定理是IB AA SL所有后续三角学内容的关键基础，包括三角函数、三角恒等式、三角方程和三维几何应用。这些定理经常出现在试卷1和试卷2的题目中，通常是结合多个概念的多步骤问题的一部分。熟练掌握这些定理后，你可以继续学习三维几何中的应用，或者继续探索三角恒等式和三角方程。