# 正弦定理、余弦定理与三角形面积

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-sine-rule-cosine-rule-and/

本模块将直角三角学拓展到所有斜（非直角）三角形，讲解如何求未知边、角，以及计算三角形面积。我们会讲解何时使用每个定理，以及需要避免的常见考试陷阱。

**先修:** [直角三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-angled-trigonometry/); 三角形的基本角度性质

## 学习目标

- 应用正弦定理求任意三角形中未知的边和角
- 应用余弦定理求任意三角形中未知的边和角
- 使用$\frac{1}{2}ab\\sin C$计算任意三角形的面积
- 能够针对不同类型的三角形问题判断应使用哪个定理

## 正弦定理

**正弦定理** — 三角形中，每条边与其对角正弦值的比值对所有边和角都相等

*记法:* For triangle $ABC$ with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$

*例:* 若$a=5$，$A=30^\circ$，$B=60^\circ$，我们可以求解$b$

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

正弦定理适用于两种情况：(1) 已知两角和一边，或(2) 已知两边和一个非夹角。

**例题:** 在三角形$ABC$中，$A = 40^\circ$，$B = 60^\circ$，$a = 8$ cm。求边$b$的长度。

1. 根据已知值写出正弦定理：

   $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
2. 代入已知值：

   $$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$$
3. 整理式子得到$b$：

   $$b = \frac{8 \times \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$$
4. 计算并保留三位有效数字：

   $$b \approx 10.8 \text{ cm}$$

> **考试提示:** 一定要给边标注对应对角，避免混淆数值。

## 正弦定理的歧义情况（两解情况）

歧义情况仅发生在已知**边边角（SSA）**条件（两边、非夹角）且已知角为锐角时。符合条件的有效三角形可能有0个、1个或2个。

**歧义情况（两解情况）** — 相同的边边角（SSA）输入可以构造出两个不同的有效三角形，得到两个正确解的情况

**例题:** 已知三角形$ABC$中$a = 7$，$b = 9$，$A = 35^\circ$，求角$B$所有可能的度数。

1. 应用正弦定理：

   $$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$$
2. 代入数值求解$\boldsymbol{\sin B}$：

   $$\sin B = \frac{9 \times \sin 35^\circ}{7} \approx 0.738$$
3. 利用恒等式$\boldsymbol{\sin \theta = \sin (180^\circ - \theta)}$得到两个解：

   $$B_1 = \arcsin(0.738) \approx 47.6^\circ, \quad B_2 = 180^\circ - 47.6^\circ = 132.4^\circ$$
4. 验证有效性：$35^\circ + 132.4^\circ = 167.4^\circ < 180^\circ$，因此两个解都有效。

> **warning**
>
> 除非题目明确说明三角形是锐角/钝角三角形，否则在边边角的正弦定理问题中一定要检查是否存在第二个解。

## 余弦定理

**余弦定理** — 建立了三角形三边和其中一个角的关系，有两种常用形式，分别用于求边和求角

*记法:* For triangle $ABC$ with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

余弦定理适用于两种情况：(1) 已知三边求角，或(2) 已知两边及其夹角求第三边。余弦定理不存在歧义情况。

**例题:** 在三角形$ABC$中，$b = 4$ cm，$c = 6$ cm，夹角$A = 50^\circ$。求边$a$的长度。

1. 已知两边及其夹角，使用余弦定理的求边形式：

   $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
2. 代入已知值：

   $$a^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6)\cos 50^\circ$$
3. 计算等式右侧：

   $$a^2 = 16 + 36 - 48(0.6428) \approx 21.15$$
4. 开平方并保留三位有效数字：

   $$a \approx 4.60 \text{ cm}$$

> **考试提示:** 用余弦定理求角时，$\boldsymbol{\cos A}$的符号可以直接告诉你角是锐角（$\cos A > 0$）还是钝角（$\cos A < 0$），不需要额外检查。

## 任意三角形的面积

**斜三角形的面积** — 任意三角形（直角或斜三角形）的面积等于两边长度乘积乘以其夹角正弦值的一半

$$Area = \frac{1}{2}ab \sin C$$

如果你不知道夹角，可以先用正弦定理或余弦定理求出夹角，再代入该公式。

**例题:** 求三角形$XYZ$的面积，其中$XY = 5$ cm，$XZ = 7$ cm，$X$处的角为$30^\circ$。

1. 确定两条边及其夹角：$XY=5$，$XZ=7$，夹角$X=30^\circ$
2. 代入面积公式：

   $$Area = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 30^\circ$$
3. 利用$\boldsymbol{\sin 30^\circ = 0.5}$计算：

   $$Area = 8.75 \text{ cm}^2$$

## 常见错误

- **错误做法:** 正弦定理中混淆边和角，使用$a/\sin B$而非$a/\sin A$
  - 原因: 正弦定理要求每条边除以其对角的正弦值，而非邻角。
  - 正确做法: 开始计算前，给边标注小写字母，对应其对角的大写字母。
- **错误做法:** 在边边角歧义情况中忘记检查第二个解
  - 原因: 大多数学生只计算锐角解，漏掉了有效的钝角解，因此丢分。
  - 正确做法: 一定要计算$180^\circ - \arcsin(x)$，再检查三个角的和是否小于$180^\circ$，判断该解是否有效。
- **错误做法:** 已知两边及其夹角时使用正弦定理
  - 原因: 这种情况下你没有对边对角组，无法直接应用正弦定理。
  - 正确做法: 先用余弦定理求出第三边，如果需要其他角再用正弦定理。
- **错误做法:** 使用非夹角代入$\frac{1}{2}ab\sin C$公式
  - 原因: 该公式仅当角是你使用的两条边的夹角时才成立。
  - 正确做法: 计算面积前，先用正弦或余弦定理求出夹角。
- **错误做法:** 过早对中间步骤四舍五入，导致最终答案不准确
  - 原因: 过早四舍五入会引入累积误差，可能改变最终结果，导致丢掉准确度分。
  - 正确做法: 在最终步骤前，计算器保留全部精度，最后再按要求保留有效数字位数。

## 速查表

| 场景 | 应使用的定理/公式 |
| --- | --- |
| 两角 + 一边 | 正弦定理 |
| 两边 + 非夹角 (SSA) | 正弦定理（检查是否有两个解） |
| 两边 + 夹角 (SAS) | 余弦定理求未知边，再用$\frac{1}{2}ab\sin C$求面积 |
| 三边 (SSS) | 余弦定理求未知角 |
| 任意三角形面积（已知SAS） | $\frac{1}{2}ab\sin C$ |

## 下一步

掌握正弦定理和余弦定理是IB AA SL所有后续三角学内容的关键基础，包括三角函数、三角恒等式、三角方程和三维几何应用。这些定理经常出现在试卷1和试卷2的题目中，通常是结合多个概念的多步骤问题的一部分。熟练掌握这些定理后，你可以继续学习三维几何中的应用，或者继续探索三角恒等式和三角方程。

- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/)
- [勾股定理恒等式与二倍角三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-pythagorean-and-double-angle-trigonometric/)
- [求解三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-solving-trigonometric-equations/)

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