直角三角形三角学与单位圆

IB 数学：分析与方法 SL· 25 分钟阅读

1. 直角三角形中的三角比★☆☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

三角比

$sin θ$ , $cos θ$ , $tan θ$

对于直角三角形中的锐角 $θ$ ，每个三角比是相对于 $θ$ 的两条边之比： $sin θ = \frac{对边}{斜边}$ , $cos θ = \frac{邻边}{斜边}$ , $tan θ = \frac{对边}{邻边}$

例:

对于一个对边为2、斜边为4的30°角， $sin 30° = \frac{2}{4} = 0.5$

📐 例题

一个直角三角形斜边长10 cm，一个内角为35°。求35°角对边的长度，结果保留1位小数。

1
我们已知斜边，要求对边，因此使用正弦比：
2
$\sin 35^\circ = \frac{\text{对边}}{10}$
3
整理式子，分离出未知的对边：
4
$\text{对边} = 10 \times \sin 35^\circ$
5
用计算器计算（确保计算器设置为角度模式）：
6
$\text{对边} \approx 10 \times 0.5736 = 5.7 \text{ cm}$

2. 特殊直角三角形与精确值★★☆☆☆⏱ 20 min

🚫 计算器禁用

30-60-90和45-45-90特殊直角三角形拥有简单边长比，可得到精确的三角值。这些值在试卷1的无计算器考题中几乎总是需要用到。

📘 定义

特殊直角三角形

能得到简单易记精确三角值的直角三角形，其中45-45-90三角形边长比为 $1 : 1 : 2$ ，30-60-90三角形边长比为 $1 : 3 : 2$ 。

📐 例题

求 $tan 60°$ 的精确值。

1
回忆30-60-90三角形的边长比：30°对边为1，60°对边为 $3$ ，斜边为2。
2
对于60°角，对边是 $3$ ，邻边是1。
3
$\tan 60^\circ = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

✓ 快速检测

测试你对精确值的掌握

$sin 45°$ 的精确值是多少？
- $\frac{1}{2}$
- $\frac{2}{2}$
- $\frac{3}{2}$
- $1$
显示答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ —
正确！对于45-45-90三角形，对边为1，斜边为 $2$ ，因此 $sin 45° = \frac{1}{2}$ ，有理化后得到 $\frac{2}{2}$ 。

3. 三角函数的单位圆定义★★☆☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

直角三角形三角学仅适用于0°到90°之间的锐角。要为任意正负角定义三角函数，我们使用单位圆。

📘 定义

单位圆定义

对于从x轴正方向逆时针测量的任意角度 $θ$ ， $θ$ 的终边与单位圆交点的坐标为 $(cos θ, sin θ)$ 。

x^2 + y^2 = 1, \quad \cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

📐 例题

利用单位圆求 $cos 180°$ 的值。

1
180°角沿x轴负方向，它与单位圆的交点为 $(- 1, 0)$ 。
2
根据定义，该点的x坐标等于 $cos θ$ 。
3
$\cos 180^\circ = -1$

4. 求精确值的参考角★★★☆☆⏱ 25 min

🚫 计算器禁用

要求任意角三角函数的精确值，我们先找参考角（终边与x轴之间的锐角），从特殊三角形得到绝对值，再根据象限加上正确的符号。

📐 例题

求 $sin 150°$ 的精确值。

1
150°位于第二象限，根据ASTC法则，正弦为正。
2
计算第二象限的参考角： $180° - 150° = 30°$ 。
3
我们已知 $sin 30° = \frac{1}{2}$ ，因此绝对值为 $\frac{1}{2}$ ，符号为正。
4
$\sin 150^\circ = +\frac{1}{2}$

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记检查计算器是否处于角度模式

原因:

IB考试中三角题几乎都使用角度，弧度模式会得到错误结果

正确做法:

开始任何三角计算前都要确认计算器的模式

错误做法:

混淆对边和邻边相对于当前考察角的位置

原因:

边的标签是相对于你使用的角，而非固定在三角形上

正确做法:

处理特定角时总要重新标记边

错误做法:

第一象限外的角度忘记添加负号

原因:

学生通常记住参考角得到的绝对值，但忽略符号法则

正确做法:

写下最终答案前，一定要检查象限并应用ASTC法则

错误做法:

认为 $tan 90° = 0$

原因:

$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ , 而 $cos 90° = 0$ ，因此除以零无定义

正确做法:

要记住正切在90°、270°以及所有同终边角上无定义

6. 速查表

角度 (°)	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
0	0	1	0
30	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
45	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	1
60	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
90	1	0	无定义
180	0	-1	0
270	-1	0	无定义
360	0	1	0

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求单位圆中的精确值
2024 · 2
求解直角三角形的边长

下一步

直角三角形三角学和单位圆是IB AA SL中所有后续三角学内容的基础。理解单位圆给出的正弦、余弦、正切定义能让你更好地处理三角恒等式、图像和方程，这些内容在考试中占比很大。特殊三角形和单位圆得到的精确值几乎是试卷1无计算器考题的必考点，因此尽早掌握本主题能帮你在后续节省时间、多得分数。接下来，你将基于这些核心定义探索更高级的三角主题。