# 直角三角形三角学与单位圆

> IB 数学：分析与方法 SL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/

本子主题介绍直角三角形的核心三角比，随后利用单位圆将这些定义扩展到所有实角度。你将学习如何求常用角的精确值，并解决基础直角三角形问题。

**先修:** [勾股定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-pythagoras-theorem/); 基础角度性质

## 学习目标

- 在直角三角形中定义锐角的正弦、余弦和正切
- 利用单位圆将三角定义扩展到所有角度
- 计算标准常用角的精确三角值
- 求解直角三角形中的未知边和角

## 直角三角形中的三角比

**三角比** — 对于直角三角形中的锐角$\theta$，每个三角比是相对于$\theta$的两条边之比：$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$, $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$, $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

*记法:* $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$

*例:* 对于一个对边为2、斜边为4的30°角，$\sin 30° = \frac{2}{4} = 0.5$

> **SOH-CAH-TOA**
>
> SOH = **S**ine（正弦） = **O**pposite（对边） / **H**ypotenuse（斜边）  
> CAH = **C**osine（余弦） = **A**djacent（邻边） / **H**ypotenuse（斜边）  
> TOA = **T**angent（正切） = **O**pposite（对边） / **A**djacent（邻边）

**例题:** 一个直角三角形斜边长10 cm，一个内角为35°。求35°角对边的长度，结果保留1位小数。

1. 我们已知斜边，要求对边，因此使用正弦比：
2. $$\sin 35^\circ = \frac{\text{对边}}{10}$$
3. 整理式子，分离出未知的对边：
4. $$\text{对边} = 10 \times \sin 35^\circ$$
5. 用计算器计算（确保计算器设置为角度模式）：
6. $$\text{对边} \approx 10 \times 0.5736 = 5.7 \text{ cm}$$

*计算器:* allowed

## 特殊直角三角形与精确值

30-60-90和45-45-90特殊直角三角形拥有简单边长比，可得到精确的三角值。这些值在试卷1的无计算器考题中几乎总是需要用到。

**特殊直角三角形** — 能得到简单易记精确三角值的直角三角形，其中45-45-90三角形边长比为$1:1:\sqrt{2}$，30-60-90三角形边长比为$1:\sqrt{3}:2$。

**例题:** 求$\tan 60°$的精确值。

1. 回忆30-60-90三角形的边长比：30°对边为1，60°对边为$\sqrt{3}$，斜边为2。
2. 对于60°角，对边是$\sqrt{3}$，邻边是1。
3. $$\tan 60^\circ = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

**概念自测**

测试你对精确值的掌握

1. $\sin 45°$的精确值是多少？

   - $\frac{1}{2}$
   - $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   - $1$

   *解析:* 正确！对于45-45-90三角形，对边为1，斜边为$\sqrt{2}$，因此$\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$，有理化后得到$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

*计算器:* forbidden

## 三角函数的单位圆定义

直角三角形三角学仅适用于0°到90°之间的锐角。要为任意正负角定义三角函数，我们使用单位圆。

**单位圆定义** — 对于从x轴正方向逆时针测量的任意角度$\theta$，$\theta$的终边与单位圆交点的坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$。

$$x^2 + y^2 = 1, \quad \cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

**例题:** 利用单位圆求$\cos 180°$的值。

1. 180°角沿x轴负方向，它与单位圆的交点为$(-1, 0)$。
2. 根据定义，该点的x坐标等于$\cos \theta$。
3. $$\cos 180^\circ = -1$$

> **warning**
>
> 与直角三角比不同，单位圆三角值可以为负。符号取决于角的终边所在的象限。

*计算器:* allowed

## 求精确值的参考角

要求任意角三角函数的精确值，我们先找参考角（终边与x轴之间的锐角），从特殊三角形得到绝对值，再根据象限加上正确的符号。

> **All Students Take Calculus (ASTC)**
>
> 第一象限：**所有**三角比均为正  
> 第二象限：**正**弦为正  
> 第三象限：**正**切为正  
> 第四象限：**余**弦为正

**例题:** 求$\sin 150°$的精确值。

1. 150°位于第二象限，根据ASTC法则，正弦为正。
2. 计算第二象限的参考角：$180° - 150° = 30°$。
3. 我们已知$\sin 30° = \frac{1}{2}$，因此绝对值为$\frac{1}{2}$，符号为正。
4. $$\sin 150^\circ = +\frac{1}{2}$$

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记检查计算器是否处于角度模式
  - 原因: IB考试中三角题几乎都使用角度，弧度模式会得到错误结果
  - 正确做法: 开始任何三角计算前都要确认计算器的模式
- **错误做法:** 混淆对边和邻边相对于当前考察角的位置
  - 原因: 边的标签是相对于你使用的角，而非固定在三角形上
  - 正确做法: 处理特定角时总要重新标记边
- **错误做法:** 第一象限外的角度忘记添加负号
  - 原因: 学生通常记住参考角得到的绝对值，但忽略符号法则
  - 正确做法: 写下最终答案前，一定要检查象限并应用ASTC法则
- **错误做法:** 认为$\tan 90° = 0$
  - 原因: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, 而$\cos 90° = 0$，因此除以零无定义
  - 正确做法: 要记住正切在90°、270°以及所有同终边角上无定义

## 速查表

| 角度 (°) | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 45 | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | 1 | 0 | 无定义 |
| 180 | 0 | -1 | 0 |
| 270 | -1 | 0 | 无定义 |
| 360 | 0 | 1 | 0 |

## 下一步

直角三角形三角学和单位圆是IB AA SL中所有后续三角学内容的基础。理解单位圆给出的正弦、余弦、正切定义能让你更好地处理三角恒等式、图像和方程，这些内容在考试中占比很大。特殊三角形和单位圆得到的精确值几乎是试卷1无计算器考题的必考点，因此尽早掌握本主题能帮你在后续节省时间、多得分数。接下来，你将基于这些核心定义探索更高级的三角主题。

- [正弦定理、余弦定理与三角形面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-sine-rule-cosine-rule-and/)
- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/)
- [勾股定理恒等式与二倍角三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-pythagorean-and-double-angle-trigonometric/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/