弧度、弧长与扇形

IB 数学：分析与方法 SL· 25 分钟阅读

1. 角的弧度度量★☆☆☆☆⏱ 15 min

🚫 计算器禁用

角不一定要用度来度量。弧度是另一种单位，它自然地源于圆本身的几何，也是整个高等三角与微积分中所用的单位。

📘 定义

弧度 (radian)

$θ$ （以弧度为单位）

一弧度是圆心处由一段长度等于圆半径的弧所张成的角。由于整个周长是 $2 π r$ ，转一整圈包含 $2 π$ 弧度。

例:

在半径为 $r$ 的圆上，一段长度为 $r$ 的弧在圆心处恰好张成 $1$ 弧度的角。

📐 例题

转四分之一圈（一个直角）是多少弧度？

1
转一整圈是 $2 π$ 弧度。转四分之一圈是整圈的四分之一。
2
$\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$
3
所以一个直角是 $\frac{π}{2}$ 弧度，与 $90°$ 相符。

2. 度与弧度之间的转换★★☆☆☆⏱ 15 min

🚫 计算器禁用

由于 $180° = π$ 弧度，我们可以通过乘以正确的分数进行任意方向的转换。标准角会转换成 $π$ 的精确分数，这在无计算器的 Paper 1 题目中是必需的。

📘 定义

转换法则

把度转换为弧度，乘以 $\frac{π}{180}$ 。把弧度转换为度，乘以 $\frac{180}{π}$ 。

\text{弧度} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}, \qquad \text{度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}

📐 例题

把 $150°$ 转换为弧度，答案表示为 $π$ 的精确倍数。

1
把度数乘以 $\frac{π}{180}$ ：
2
$150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180}$
3
分子分母同除以 $30$ 化简分数：
4
$\frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$

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检验你的转换能力

$\frac{π}{3}$ 弧度是多少度？
- $30°$
- $45°$
- $60°$
- $90°$
显示答案
$60°$ —
正确！乘以 $\frac{180}{π}$ ： $\frac{π}{3} \times \frac{180}{π} = \frac{180}{3} = 60°$ 。

3. 弧长★★☆☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

弧是周长的一部分。周长为 $2 π r$ 的整圆对应角 $2 π$ 弧度，所以角为 $θ$ 的弧是整个周长的 $\frac{θ}{2 π}$ 这一部分。这化简为一个非常简洁的公式。

📘 定义

弧长公式

$l = r θ$

在半径为 $r$ 的圆上，张成圆心角 $θ$ （以弧度为单位）的弧长 $l$ 为 $l = r θ$ 。此公式仅在 $θ$ 以弧度为单位时成立。

例:

在半径为 $5$ 的圆上，张成 $2$ 弧度的弧长为 $l = 5 \times 2 = 10$ 。

📐 例题

一个圆的半径为 $9 cm$ 。求张成 $\frac{2 π}{3}$ 弧度圆心角的弧的精确长度。

1
角已经是弧度，所以直接应用 $l = r θ$ ：
2
$l = 9 \times \frac{2\pi}{3}$
3
把因子 $3$ 与 $9$ 约分：
4
$l = \frac{9 \times 2\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}$

4. 扇形面积★★★☆☆⏱ 20 min

🚫 计算器禁用

扇形是由两条半径和一段弧围成的饼状区域。就像弧长一样，扇形是整圆的 $\frac{θ}{2 π}$ 这一部分，而整圆面积为 $π r^{2}$ 。化简 $\frac{θ}{2 π} \times π r^{2}$ 得到另一个简洁的弧度公式。

📘 定义

扇形面积公式

$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$

圆心角为 $θ$ （以弧度为单位）、半径为 $r$ 的扇形面积 $A$ 为 $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ 。与弧长一样， $θ$ 必须以弧度为单位。

例:

半径为 $4$ 、角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{π}{2} = 4 π$ 。

📐 例题

一个圆的扇形半径为 $6 cm$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 弧度。求其精确面积。

1
以 $r = 6$ 、 $θ = \frac{π}{3}$ 应用扇形面积公式 $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ ：
2
$A = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{\pi}{3}$
3
计算 $6^{2} = 36$ 并逐步化简：
4
$A = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\pi}{3} = 18 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2$

5. 常见陷阱

错误做法:

在 $l = r θ$ 或 $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ 中直接使用以度为单位的角

原因:

这两个公式都是从整圆为 $2 π$ 弧度这一事实推导出来的，所以只有当 $θ$ 以弧度为单位时才给出正确结果

正确做法:

先把任何以度表示的角乘以 $\frac{π}{180}$ 转换为弧度

错误做法:

在扇形面积公式中忘记因子 $\frac{1}{2}$

原因:

写成 $A = r^{2} θ$ 会把正确面积翻倍，且更像周长公式而非面积公式

正确做法:

始终用 $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ ，并检验整圆 $(θ = 2 π)$ 时给出 $π r^{2}$

错误做法:

把弧长公式与扇形面积公式弄混

原因:

$l = r θ$ 关于 $r$ 是线性的，而 $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ 关于 $r$ 是二次的；混用会得到错误的单位

正确做法:

检查单位：长度答案应带 cm，面积答案应带 cm²，这能提示公式用错了

错误做法:

把扇形的周长只当作弧长来报

原因:

扇形的周长还包括围成它的两条半径，不仅是那段弯弧

正确做法:

用 $P = r θ + 2 r$ ，把两条半径都加到弧上

6. 速查表

度	弧度
$0°$	$0$
$30°$	$\frac{π}{6}$
$45°$	$\frac{π}{4}$
$60°$	$\frac{π}{3}$
$90°$	$\frac{π}{2}$
$120°$	$\frac{2 π}{3}$
$135°$	$\frac{3 π}{4}$
$150°$	$\frac{5 π}{6}$
$180°$	$π$
$270°$	$\frac{3 π}{2}$
$360°$	$2 π$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
用 π 表示求扇形的精确面积
2024 · 1
把角转换为弧度并求弧长

下一步

弧度度量是 IB AA SL 其余三角内容的基础。一旦角以弧度度量，弧长和扇形面积公式就变得简洁快捷，而当你绘制三角函数图像、后面对其求导和积分时，用的也是同一套弧度尺度。由于 Paper 1 是无计算器的，熟练掌握 π 的精确倍数和这两个圆公式会为你节省时间并稳拿容易的分。接下来，你将把弧度角应用于三角函数的图像和方程。