# 弧度、弧长与扇形

> IB 数学：分析与方法 SL · 几何与三角
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-radians-arc-length-and-sectors/

本小节介绍弧度 (radian)——高等数学中度量角的自然单位。你将学会在度与弧度之间转换，然后在两个关键的圆公式中运用弧度：弧长和扇形面积。

**先修:** 圆的周长与面积; [直角三角形三角与单位圆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/)

## 学习目标

- 把弧度 (radian) 定义为一种角的度量，并将其与整个圆联系起来
- 在度与弧度之间转换角度，包括精确值
- 利用公式 l = rθ 求弧长
- 利用公式 A = ½r²θ 求扇形面积

## 角的弧度度量

角不一定要用度来度量。**弧度**是另一种单位，它自然地源于圆本身的几何，也是整个高等三角与微积分中所用的单位。

**弧度 (radian)** — 一弧度是圆心处由一段长度等于圆半径的弧所张成的角。由于整个周长是 $2\pi r$，转一整圈包含 $2\pi$ 弧度。

*记法:* $\theta$（以弧度为单位）

*例:* 在半径为 $r$ 的圆上，一段长度为 $r$ 的弧在圆心处恰好张成 $1$ 弧度的角。

> **关键关系**
>
> 转一整圈是 $360° = 2\pi$ 弧度，所以转半圈给出你应当记住的转换锚点：  
> $$180° = \pi \text{ 弧度}$$

**例题:** 转四分之一圈（一个直角）是多少弧度？

1. 转一整圈是 $2\pi$ 弧度。转四分之一圈是整圈的四分之一。
2. $$\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$$
3. 所以一个直角是 $\frac{\pi}{2}$ 弧度，与 $90°$ 相符。

*计算器:* forbidden

## 度与弧度之间的转换

由于 $180° = \pi$ 弧度，我们可以通过乘以正确的分数进行任意方向的转换。标准角会转换成 $\pi$ 的精确分数，这在无计算器的 Paper 1 题目中是必需的。

**转换法则** — 把度转换为弧度，乘以 $\frac{\pi}{180}$。把弧度转换为度，乘以 $\frac{180}{\pi}$。

$$\text{弧度} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}, \qquad \text{度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}$$

**例题:** 把 $150°$ 转换为弧度，答案表示为 $\pi$ 的精确倍数。

1. 把度数乘以 $\frac{\pi}{180}$：
2. $$150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180}$$
3. 分子分母同除以 $30$ 化简分数：
4. $$\frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$$

**概念自测**

检验你的转换能力

1. $\frac{\pi}{3}$ 弧度是多少度？

   - $30°$
   - $45°$
   - $60°$
   - $90°$

   *解析:* 正确！乘以 $\frac{180}{\pi}$：$\frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{3} = 60°$。

*计算器:* forbidden

## 弧长

弧是周长的一部分。周长为 $2\pi r$ 的整圆对应角 $2\pi$ 弧度，所以角为 $\theta$ 的弧是整个周长的 $\frac{\theta}{2\pi}$ 这一部分。这化简为一个非常简洁的公式。

**弧长公式** — 在半径为 $r$ 的圆上，张成圆心角 $\theta$（以弧度为单位）的弧长 $l$ 为 $l = r\theta$。此公式仅在 $\theta$ 以弧度为单位时成立。

*记法:* $l = r\theta$

*例:* 在半径为 $5$ 的圆上，张成 $2$ 弧度的弧长为 $l = 5 \times 2 = 10$。

> **warning**
>
> 公式 $l = r\theta$ 要求 $\theta$ 以**弧度**为单位。如果角是以度给出的，代入前先把它转换为弧度。

**例题:** 一个圆的半径为 $9 \text{ cm}$。求张成 $\frac{2\pi}{3}$ 弧度圆心角的弧的精确长度。

1. 角已经是弧度，所以直接应用 $l = r\theta$：
2. $$l = 9 \times \frac{2\pi}{3}$$
3. 把因子 $3$ 与 $9$ 约分：
4. $$l = \frac{9 \times 2\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}$$

*计算器:* allowed

## 扇形面积

扇形是由两条半径和一段弧围成的饼状区域。就像弧长一样，扇形是整圆的 $\frac{\theta}{2\pi}$ 这一部分，而整圆面积为 $\pi r^2$。化简 $\frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2$ 得到另一个简洁的弧度公式。

**扇形面积公式** — 圆心角为 $\theta$（以弧度为单位）、半径为 $r$ 的扇形面积 $A$ 为 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$。与弧长一样，$\theta$ 必须以弧度为单位。

*记法:* $A = \frac{1}{2}r^2\theta$

*例:* 半径为 $4$、角为 $\frac{\pi}{2}$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\pi}{2} = 4\pi$。

**例题:** 一个圆的扇形半径为 $6 \text{ cm}$，圆心角为 $\frac{\pi}{3}$ 弧度。求其精确面积。

1. 以 $r = 6$、$\theta = \frac{\pi}{3}$ 应用扇形面积公式 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$：
2. $$A = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{\pi}{3}$$
3. 计算 $6^2 = 36$ 并逐步化简：
4. $$A = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\pi}{3} = 18 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2$$

> **扇形的周长**
>
> 扇形的周长是弧加上两条直半径：$P = l + 2r = r\theta + 2r$。不要忘记这两条半径——这是常见的失分点。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 在 $l = r\theta$ 或 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ 中直接使用以度为单位的角
  - 原因: 这两个公式都是从整圆为 $2\pi$ 弧度这一事实推导出来的，所以只有当 $\theta$ 以弧度为单位时才给出正确结果
  - 正确做法: 先把任何以度表示的角乘以 $\frac{\pi}{180}$ 转换为弧度
- **错误做法:** 在扇形面积公式中忘记因子 $\frac{1}{2}$
  - 原因: 写成 $A = r^2\theta$ 会把正确面积翻倍，且更像周长公式而非面积公式
  - 正确做法: 始终用 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$，并检验整圆 $(\theta = 2\pi)$ 时给出 $\pi r^2$
- **错误做法:** 把弧长公式与扇形面积公式弄混
  - 原因: $l = r\theta$ 关于 $r$ 是线性的，而 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ 关于 $r$ 是二次的；混用会得到错误的单位
  - 正确做法: 检查单位：长度答案应带 cm，面积答案应带 cm²，这能提示公式用错了
- **错误做法:** 把扇形的周长只当作弧长来报
  - 原因: 扇形的周长还包括围成它的两条半径，不仅是那段弯弧
  - 正确做法: 用 $P = r\theta + 2r$，把两条半径都加到弧上

## 速查表

| 度 | 弧度 |
| --- | --- |
| $0°$ | $0$ |
| $30°$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $45°$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $60°$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $90°$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $120°$ | $\frac{2\pi}{3}$ |
| $135°$ | $\frac{3\pi}{4}$ |
| $150°$ | $\frac{5\pi}{6}$ |
| $180°$ | $\pi$ |
| $270°$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
| $360°$ | $2\pi$ |

## 下一步

弧度度量是 IB AA SL 其余三角内容的基础。一旦角以弧度度量，弧长和扇形面积公式就变得简洁快捷，而当你绘制三角函数图像、后面对其求导和积分时，用的也是同一套弧度尺度。由于 Paper 1 是无计算器的，熟练掌握 π 的精确倍数和这两个圆公式会为你节省时间并稳拿容易的分。接下来，你将把弧度角应用于三角函数的图像和方程。

- [直角三角形三角与单位圆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/)
- [三角函数的图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/)
- [解三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-solving-trigonometric-equations/)

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