勾股定理恒等式与二倍角三角恒等式

IB 数学：分析与方法 SL· 3.6 Trigonometry· 15 分钟阅读

1. 勾股三角恒等式★★☆☆☆⏱ 5 min

基本勾股恒等式直接来自单位圆，单位圆上任意点 $(cos θ, sin θ)$ 都满足圆方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ 。从这个核心恒等式出发，我们可以分别除以 $cos^{2} θ$ 或 $sin^{2} θ$ ，推导出另外两个恒等式。

📘 定义

勾股三角恒等式

For all defined $θ$

由单位圆上勾股定理推导出的三个核心恒等式，联系基本三角函数的幂次

例:

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

📐 例题

已知 $sin θ = \frac{2}{3}$ 且 $\frac{π}{2} < θ < π$ ，求 $cos θ$ 和 $tan θ$ 的值。

1
使用基本勾股恒等式求解 $cos^{2} θ$ ：
2
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$
3
化简并求解 $cos θ$ ：
4
$\frac{4}{9} + \cos^2\theta = 1 \implies \cos^2\theta = \frac{5}{9} \implies \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
5
我们知道 $θ$ 在第二象限，该象限中余弦为负，因此取负根： $cos θ = - \frac{5}{3}$ 。
6
最后，计算 $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ ：
7
$\tan\theta = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Exam tip:

务必检查给定角度所在象限，为结果选择正确的符号。

2. 二倍角恒等式★★☆☆☆⏱ 6 min

二倍角恒等式将 $2 θ$ 的三角函数与 $θ$ 的三角函数联系起来，直接由复角加法公式推导而来。余弦二倍角恒等式有三种等价形式，可根据不同使用场景用勾股恒等式化简。

🔬 推导

目标:

推导正弦的二倍角恒等式

起点:

Sine addition formula: $sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$

1
Set $A = B = θ$ , so we calculate $sin (θ + θ) = sin 2 θ$
2
$\sin(\theta + \theta) = \sin\theta \cos\theta + \cos\theta \sin\theta$
3
Combine the two identical terms on the right hand side

结果:

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ , the double angle identity for sine

📘 定义

二倍角恒等式

所有核心二倍角恒等式列于下方，对所有两边都有定义的 $θ$ 成立：

例:

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$
$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$
$tan 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$

📐 例题

将 $4 sin θ cos θ$ 表示为一个化简后的单一三角函数。

1
识别出该表达式符合正弦二倍角恒等式的形式，提出常数2：
2
$4\sin\theta \cos\theta = 2(2\sin\theta \cos\theta)$
3
将 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ 代入表达式：
4
$2(2\sin\theta \cos\theta) = 2\sin 2\theta$

3. 在考试题目中的应用★★★☆☆⏱ 7 min

这些恒等式最常用于三类考试任务：化简三角表达式、证明恒等式和求解二次三角方程。IB AA SL考试中几乎每道三角题都需要用到它们。

📐 例题

Solve $2 sin^{2} θ = cos θ + 1$ for $0 \leq θ < 2 π$ .

1
Use the Pythagorean identity to rewrite the equation in terms of $cos θ$ only:
2
$2(1 - \cos^2\theta) = \cos\theta + 1$
3
Expand and rearrange into standard quadratic form:
4
$2 - 2\cos^2\theta = \cos\theta + 1 \implies 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$
5
Factor the quadratic in $cos θ$ :
6
$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$
7
Solve each factor for $θ$ in the given domain:
1. $2 cos θ - 1 = 0 ⟹ cos θ = \frac{1}{2}$ , solutions $θ = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$
2. $cos θ + 1 = 0 ⟹ cos θ = - 1$ , solution $θ = π$

✓ 快速检测

Test your knowledge of the double angle identity for cosine:

Which of the following is NOT a valid form of $cos 2 θ$ ?
- $cos^{2} θ - sin^{2} θ$
- $1 - 2 sin^{2} θ$
- $2 cos^{2} θ - 1$
- $2 sin^{2} θ - 1$
显示答案
3 —
This is incorrect. The correct form when written in terms of sine is $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ , not $2 sin^{2} θ - 1$ .

4. 常见陷阱

错误做法:

使用勾股恒等式后忘记检查三角函数值的符号。

原因:

平方操作会抹去原数值的符号，因此需要根据角度所在象限得到正确结果。

正确做法:

在正负根之间选择前，务必检查给定的定义域或角度所在象限。

错误做法:

混淆余弦二倍角恒等式的符号，写成 $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ + 1$ 。

原因:

这是用勾股定理整理恒等式时常见的符号错误。

正确做法:

记住常数项是负的： $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ 。

错误做法:

为化简三角方程，将方程两边同时除以 $sin θ$ 或 $cos θ$ 。

原因:

这会从最终结果中去掉 $sin θ = 0$ 或 $cos θ = 0$ 对应的解。

正确做法:

对表达式因式分解而非除法，保留定义域内所有可能的解。

错误做法:

Writing $(sin θ)^{2}$ as $sin θ^{2}$ .

原因:

This notation error changes the meaning of the expression to sine of (theta squared).

正确做法:

Always write the power after the function name: $sin^{2} θ$ for $(sin θ)^{2}$ .

5. 速查表

恒等式类型	恒等式
勾股	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
勾股	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
勾股	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$
二倍角（正弦）	$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$
二倍角（余弦）	$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$
二倍角（正切）	$tan 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · Paper 1
化简一个三角表达式
2022 · Paper 2
求解二次三角方程
2023 · Paper 1
证明一个三角恒等式

深入阅读

Official ResourceIB AA SL 公式手册考试中所有这些恒等式都会在参考公式表中列出

下一步

勾股恒等式和二倍角恒等式是IB AA SL所有高阶三角内容的基础，包括复角恒等式、求解复杂三角方程，以及三角学的微积分应用。掌握这些恒等式至关重要，因为考试中大多数积分、求导和解题任务都需要先化简表达式。接下来，你会将这些思路推广到任意角度和差，然后应用于越来越复杂的题型中。