# 勾股定理恒等式与二倍角三角恒等式

> IB 数学：分析与方法 SL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-pythagorean-and-double-angle-trigonometric/

本子主题涵盖核心勾股三角恒等式和二倍角恒等式，这些是IB AA SL考试中化简表达式、证明恒等式和求解三角方程的关键工具。

**先修:** [基本三角比](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-basic-trigonometric-ratios/); [单位圆与弧度制](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-unit-circle-radian-measure/)

## 学习目标

- 回顾并应用三个核心勾股三角恒等式
- 推导并使用正弦、余弦和正切的二倍角恒等式
- 利用这些恒等式化简三角表达式、解方程
- 识别IB考题中何时应用这些恒等式

## 勾股三角恒等式

基本勾股恒等式直接来自单位圆，单位圆上任意点$(\cos\theta, \sin\theta)$都满足圆方程$x^2 + y^2 = 1$。从这个核心恒等式出发，我们可以分别除以$\cos^2\theta$或$\sin^2\theta$，推导出另外两个恒等式。

**勾股三角恒等式** — 由单位圆上勾股定理推导出的三个核心恒等式，联系基本三角函数的幂次

*记法:* For all defined $\theta$

*例:* $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$<br>$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$<br>$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

**例题:** 已知$\sin\theta = \frac{2}{3}$且$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$，求$\cos\theta$和$\tan\theta$的值。

1. 使用基本勾股恒等式求解$\cos^2\theta$：
2. $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$$
3. 化简并求解$\cos\theta$：
4. $$\frac{4}{9} + \cos^2\theta = 1 \implies \cos^2\theta = \frac{5}{9} \implies \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$
5. 我们知道$\theta$在第二象限，该象限中余弦为负，因此取负根：$\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$。
6. 最后，计算$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$：
7. $$\tan\theta = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

> **考试提示:** 务必检查给定角度所在象限，为结果选择正确的符号。

## 二倍角恒等式

二倍角恒等式将$2\theta$的三角函数与$\theta$的三角函数联系起来，直接由复角加法公式推导而来。余弦二倍角恒等式有三种等价形式，可根据不同使用场景用勾股恒等式化简。

**推导:** 推导正弦的二倍角恒等式

*起点:* Sine addition formula: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

1. Set $A = B = \theta$, so we calculate $\sin(\theta + \theta) = \sin 2\theta$
2. $$\sin(\theta + \theta) = \sin\theta \cos\theta + \cos\theta \sin\theta$$
3. Combine the two identical terms on the right hand side

*结论:* $\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta$, the double angle identity for sine

**二倍角恒等式** — 所有核心二倍角恒等式列于下方，对所有两边都有定义的$\theta$成立：

*例:* $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$<br>$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$<br>$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

**例题:** 将$4\sin\theta \cos\theta$表示为一个化简后的单一三角函数。

1. 识别出该表达式符合正弦二倍角恒等式的形式，提出常数2：
2. $$4\sin\theta \cos\theta = 2(2\sin\theta \cos\theta)$$
3. 将$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$代入表达式：
4. $$2(2\sin\theta \cos\theta) = 2\sin 2\theta$$

## 在考试题目中的应用

这些恒等式最常用于三类考试任务：化简三角表达式、证明恒等式和求解二次三角方程。IB AA SL考试中几乎每道三角题都需要用到它们。

**例题:** Solve $2\sin^2\theta = \cos\theta + 1$ for $0 \leq \theta < 2\pi$.

1. Use the Pythagorean identity to rewrite the equation in terms of $\cos\theta$ only:
2. $$2(1 - \cos^2\theta) = \cos\theta + 1$$
3. Expand and rearrange into standard quadratic form:
4. $$2 - 2\cos^2\theta = \cos\theta + 1 \implies 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$$
5. Factor the quadratic in $\cos\theta$:
6. $$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$$
7. Solve each factor for $\theta$ in the given domain: <br>1. $2\cos\theta - 1 = 0 \implies \cos\theta = \frac{1}{2}$, solutions $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ <br>2. $\cos\theta + 1 = 0 \implies \cos\theta = -1$, solution $\theta = \pi$

**概念自测**

Test your knowledge of the double angle identity for cosine:

1. Which of the following is NOT a valid form of $\cos 2\theta$?

   - $\cos^2\theta - \sin^2\theta$
   - $1 - 2\sin^2\theta$
   - $2\cos^2\theta - 1$
   - $2\sin^2\theta - 1$

   *答案:* $2\sin^2\theta - 1$

   *解析:* This is incorrect. The correct form when written in terms of sine is $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$, not $2\sin^2\theta - 1$.

## 常见错误

- **错误做法:** 使用勾股恒等式后忘记检查三角函数值的符号。
  - 原因: 平方操作会抹去原数值的符号，因此需要根据角度所在象限得到正确结果。
  - 正确做法: 在正负根之间选择前，务必检查给定的定义域或角度所在象限。
- **错误做法:** 混淆余弦二倍角恒等式的符号，写成$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta + 1$。
  - 原因: 这是用勾股定理整理恒等式时常见的符号错误。
  - 正确做法: 记住常数项是负的：$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$。
- **错误做法:** 为化简三角方程，将方程两边同时除以$\sin\theta$或$\cos\theta$。
  - 原因: 这会从最终结果中去掉$\sin\theta = 0$或$\cos\theta = 0$对应的解。
  - 正确做法: 对表达式因式分解而非除法，保留定义域内所有可能的解。
- **错误做法:** Writing $(\sin\theta)^2$ as $\sin \theta^2$.
  - 原因: This notation error changes the meaning of the expression to sine of (theta squared).
  - 正确做法: Always write the power after the function name: $\sin^2\theta$ for $(\sin\theta)^2$.

## 速查表

| 恒等式类型 | 恒等式 |
| --- | --- |
| 勾股 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 勾股 | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| 勾股 | $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ |
| 二倍角（正弦） | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 二倍角（余弦） | $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 二倍角（正切） | $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |

## 下一步

勾股恒等式和二倍角恒等式是IB AA SL所有高阶三角内容的基础，包括复角恒等式、求解复杂三角方程，以及三角学的微积分应用。掌握这些恒等式至关重要，因为考试中大多数积分、求导和解题任务都需要先化简表达式。接下来，你会将这些思路推广到任意角度和差，然后应用于越来越复杂的题型中。

- [求解三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-solving-trigonometric-equations/)
- [统计与概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-pythagorean-and-double-angle-trigonometric/