# 几何与三角学

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-overview/
> 占比: 占考试总分的18-21%

本核心单元涵盖IB AA SL的空间几何与三角学内容，从坐标系、三角形到三角函数与三角恒等式，在所有试卷中都占有很高的考核比重。

**先修:** 掌握基础坐标几何和代数运算知识; 理解线性函数以及函数的定义域/值域

## 学习目标

- 运用坐标几何方法解决二维和三维空间问题
- 运用三角法则和恒等式求解涉及三角形和任意角的问题
- 绘制、解读三角函数图像并利用其建模
- 按照IB考试要求在指定定义域内求解三角方程

## 单元概览

本单元从基础空间推理逐步进阶到高阶三角问题求解。我们从坐标几何和核心三角形三角学开始，接着学习三角函数的性质、三角恒等式，以及在指定区间上的方程求解。

几何与三角学知识点出现在IB AA SL的所有试卷中，涵盖选择题和拓展回答题。熟练掌握核心公式和方法是在本学科取得高分的关键。

本单元分为以下结构化子主题：
- [二维与三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/) — 计算二维和三维空间中两点的距离、中点、斜率以及直线方程。
- [直角三角形三角学与单位圆](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/) — 定义直角三角形中的三角比，并利用单位圆将其推广到任意角。
- [弧度、弧长与扇形](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-radians-arc-length-and-sectors/) — 在角度与弧度 (radian) 之间换算，并用弧度求弧长和扇形 (sector) 面积。
- [正弦定理、余弦定理与三角形面积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-sine-rule-cosine-rule-and/) — 运用核心定理求解任意三角形的未知边、未知角和面积，包括正弦定理的多解情况。
- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/) — 识别振幅、周期、相位偏移和纵向偏移，绘制并解读正弦、余弦和正切函数图像。
- [勾股与二倍角三角恒等式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-pythagorean-and-double-angle-trigonometric/) — 利用核心三角恒等式化简表达式并求解问题。
- [三角方程求解](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u3-solving-trigonometric-equations/) — 在指定定义域内求解一次和二次三角方程。

## 常见错误

- **错误做法:** 求解SSA三角形问题时遗忘正弦定理的多解情况
  - 原因: 遗漏第二个有效角度解会导致考试题目不能得满分
  - 正确做法: 务必通过验证总角度和小于$180^\circ$，检查是否存在第二个钝角解$180^\circ - \theta$
- **错误做法:** 混淆变换后三角函数的周期公式
  - 原因: 周期计算错误会导致图像绘制和方程求解结果错误
  - 正确做法: 无论相位偏移和纵向偏移如何，正弦/余弦函数的周期为$\frac{2\pi}{|b|}$，正切函数的周期为$\frac{\pi}{|b|}$

## 速查表

| 概念 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 两点间三维距离 | $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ |
| 余弦定理 | $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ |
| 任意三角形面积 | $\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin C$ |
| 勾股三角恒等式 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 变换后正弦/余弦函数的周期 | $\text{Period} = \frac{2\pi}{\|B\|}$ for $y = A\sin(Bx + C) + D$ |

## 下一步

你可以从第一个子主题「二维与三维坐标几何」开始学习本单元，该主题是本单元所有后续内容（包括三角空间问题）的基础。完成本单元所有子主题的学习后，你可以进入IB AA SL下一个核心单元：统计与概率的学习。

- [二维与三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/)
- [统计与概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-overview/)
- [直角三角形三角学与单位圆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-overview/