# 三角函数图像

> IB 数学：分析与方法 SL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/

本子主题涵盖正弦、余弦、正切图像的关键特征，以及变换如何改变它们的形状、位置和关键点。你将学习绘制图像并根据给定图像推导方程，这是一项核心考试技能。

**先修:** [基础三角函数值和恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-trigonometric-identities/); [通用函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-function-transformations/)

## 学习目标

- 识别变换后三角函数图像的振幅、周期、垂直平移和相位平移
- 根据方程绘制正弦、余弦和正切函数的图像
- 根据给定图像推导三角函数的方程
- 在考试题目中识别基础和变换后三角函数图像的关键特征

## 基础三角函数图像的关键特征

三个核心三角函数具有不同的、按固定区间重复的周期图像。正弦和余弦是有界范围的连续波，而正切有垂直渐近线且周期更短。

**周期** — 图像重复其形状的最小水平长度

*记法:* For $f(x) = A \sin(Bx + C) + D$, period $= \frac{2\pi}{|B|}$ (sin/cos), $\frac{\pi}{|B|}$ (tan)

*例:* $y = \sin 2x$ has period $\pi$

| 函数 | 值域 | 周期 | 关键特征 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 过原点，周期起点穿过中线 |
| $\cos x$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | y轴截距在$(0,1)$，周期起点为最大值 |
| $\tan x$ | All real $x$ | $\pi$ | 每$\pi$单位有一个垂直渐近线 |

**例题:** 在$0 \leq x \leq 2\pi$范围内绘制$y = \cos x$的图像，标注所有截距和极值点。

1. 识别基础特征：周期$2\pi$，振幅1，y轴截距在$(0, 1)$
2. 当$\cos x = 0$时求得x截距：在$x = \frac{\pi}{2}$和$x = \frac{3\pi}{2}$
3. 求得极值点：最大值在$(0,1)$和$(2\pi, 1)$，最小值在$(\pi, -1)$
4. 绘制一条光滑连续曲线，连接所有标注的关键点。

## 垂直变换：振幅和垂直平移

对于一般形式$y = A \sin(Bx + C) + D$，$A$控制振幅（垂直拉伸/压缩），$D$控制中线的垂直平移。

**振幅** — 正弦函数最大值和最小值之间距离的一半

*记法:* Amplitude $= |A|$

*例:* $y = 3 \sin x$ has amplitude 3, range $[-3, 3]$

> **tip**
>
> 负的$A$会使图像沿x轴翻转，但不会改变振幅，振幅始终为正。

**例题:** 求$y = 2 \sin x - 4$的值域和最大值。

1. 识别$A = 2$，$D = -4$。振幅为$|2| = 2$。
2. 基础$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$2 \sin x$的值域为$[-2, 2]$。
3. 将所有值向下平移4：给上下界都减4，得到值域$[-6, -2]$。
4. 最大值是值域的上界，即$-2$。

## 水平变换：周期和相位平移

水平变换改变一个周期的长度（周期）和图像的水平位置（相位平移）。$B$控制周期，$C$控制相位平移。

**相位平移** — 图像相对于对应基础函数的水平平移。要正确计算，必须先将$B$从x项中因式分解出来。

*记法:* For $y = A \sin(Bx + C) + D$, phase shift $= -\frac{C}{B}$

*例:* $y = \sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$, phase shift is $\frac{\pi}{2}$ right

**例题:** 求$y = \tan(3x)$的周期，并写出第一个正垂直渐近线的位置。

1. 对于正切函数，周期为$\frac{\pi}{|B|}$。这里$B = 3$，因此周期$= \frac{\pi}{3}$。
2. 基础函数$y = \tan x$的第一个正渐近线在$x = \frac{\pi}{2}$。
3. 水平缩放比例为$\frac{1}{3}$，因此渐近线移动到$\frac{\pi}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$。
4. 第一个正渐近线在$x = \frac{\pi}{6}$。

## 求三角函数的方程

考试中常见的问题要求你从图像推导三角函数的方程。按照以下有序步骤可以正确求出$A, B, C, D$：

1. 求$D$（垂直平移）：最大值和最小值的中点
2. 求$A$（振幅）：最大值减去$D$
3. 从图像得到周期，计算$B = \frac{2\pi}{\text{周期}}$ (sin/cos) 或$\frac{\pi}{\text{period}}$ (tan)
4. 代入图像上一个已知点求$C$（相位平移）

**例题:** 一条正弦曲线的最大值为$y=5$，最小值为$y=-1$，一个完整周期从$x=0$到$x=4\pi$，且在$(0, 2)$处递增穿过中线。求它的方程。

1. 计算$D$：5和-1的中点为$\frac{5 + (-1)}{2} = 2$，因此$D=2$。
2. Calculate $A$: $5 - 2 = 3$, so $A=3$.
3. 周期为$4\pi$，因此$B = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$。
4. 图像在$x=0$处递增穿过中线，与基础$\sin x$一致，因此相位平移为0，$C=0$。
5. Final equation: $y = 3 \sin\left(\frac{1}{2}x\right) + 2$

## 常见错误

- **错误做法:** 不将$B$从x项因式分解就直接把$C$当作相位平移
  - 原因: 相位平移会被$B$缩放，因此使用原始$C$值会得到错误的平移量
  - 正确做法: Always factor $B$ out of $Bx + C$ to get $B(x + \frac{C}{B})$, so phase shift is $-\frac{C}{B}$
- **错误做法:** 对正切函数使用$2\pi$计算周期
  - 原因: 基础正切的周期是$\pi$而非$2\pi$，因此公式和正弦、余弦不同
  - 正确做法: Use period $= \frac{\pi}{|B|}$ for all tangent functions, period $= \frac{2\pi}{|B|}$ for sine/cosine
- **错误做法:** 当$A$为负时写出负振幅
  - 原因: 振幅是距离的度量，因此始终非负
  - 正确做法: Take the absolute value of $A$ for amplitude, note the reflection over the x-axis separately if required
- **错误做法:** 从图像写方程时混淆正弦和余弦
  - 原因: 基础正弦和余弦在$x=0$处的起点不同，因此选错基函数会得到错误的相位平移
  - 正确做法: Use sine if the graph crosses the midline at $x=0$, use cosine if it has a maximum/minimum at $x=0$

## 速查表

| 函数形式 | 振幅 | 周期 | 相位平移 | 垂直平移 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = A \sin(Bx + C) + D$ | $\|A\|$ | $\frac{2\pi}{\|B\|}$ | $-\frac{C}{B}$ | $D$ |
| $y = A \cos(Bx + C) + D$ | $\|A\|$ | $\frac{2\pi}{\|B\|}$ | $-\frac{C}{B}$ | $D$ |
| $y = A \tan(Bx + C) + D$ | N/A | $\frac{\pi}{\|B\|}$ | $-\frac{C}{B}$ | $D$ |

## 下一步

掌握三角函数图像是求解三角方程、对潮汐高度、季节温度、波动等周期性现实世界现象建模的基础，这些都是IB AA SL考试中常见的拓展回答题。这个技能也和微积分相关，你在对三角函数求导和积分时，需要回忆它们的图像形状来找到临界点和截距。理解这些图像的周期性是在给定区间内求三角方程所有解时避免错误的关键。

- [求解三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-solving-trigonometric-equations/)
- [勾股定理恒等式与二倍角三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-pythagorean-and-double-angle-trigonometric/)

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