二维与三维向量、点积与直线

IB 数学 AA SL· 25 分钟阅读

1. 二维和三维坐标中的向量★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

向量

同时具有大小（模长）和方向的量，在二维中表示为有序对，在三维中表示为有序三元组。

例:

向右3单位、向上4单位的位移可写为 $(34)$ 。

向量具有平移不变性：只要两个向量的分量相同，无论起点在哪里，它们都是相等的。位置向量相对于原点固定，其分量等于终点的坐标。

📐 例题

求三维位置向量 $a = 2 - 3 6$ 的模长。

1
三维向量模长的公式为：
2
$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
3
代入 $a$ 的分量：
4
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49}$
5
化简得到最终模长：
6
$|\vec{a}| = 7$

2. 两个向量的点积★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

点积（标量积）

$a \cdot b$

由两个向量计算得到的标量值，可以通过分量计算，也可以通过模长和向量间的夹角计算。

代数形式（三维）: $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$
几何形式: $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ，其中 $θ$ 是两个向量之间的夹角
夹角公式: $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$

📐 例题

求向量 $a = 12 - 1$ 和 $b = 3 - 1 2$ 之间的夹角，结果保留1位小数。

1
首先计算点积：
2
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (-1)(2) = 3 - 2 - 2 = -1$
3
计算每个向量的模长：
4
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449, \quad |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14} \approx 3.742$
5
代入夹角公式：
6
$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{6}\sqrt{14}} \approx -0.1091$
7
取反余弦（夹角范围为0°到180°）：
8
$\theta \approx 96.3^\circ$

3. 直线的向量方程★★★☆☆⏱ 15 min

任意直线都可以由直线上一个已知点和描述直线方向的方向向量唯一确定。由此得到的灵活向量形式适用于二维和三维直线。

📘 定义

直线的向量方程

$r = a + t d$

$r$ = 直线上任意点的位置向量， $a$ = 直线上已知点的位置向量， $d$ = 方向向量， $t$ = 标量参数。

📐 例题

求过点 $A (1, 2, - 3)$ 和 $B (4, - 1, 2)$ 的直线的向量方程。

1
首先计算从A到B的方向向量：
2
$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 4-1 \\ -1-2 \\ 2 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}$
3
取点A作为已知定点，因此 $a = 12 - 3$
4
写出带参数 $t$ 的完整方程：
5
$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

4. 直线的交点与夹角★★★★☆⏱ 20 min

要判断两条直线是否相交，令它们的位置向量相等，求解标量参数即可。三维空间中，两条直线有三种可能情况：相交、平行或异面。

📐 例题

对直线 $L_{1} : r = 121 + s - 1 11$ 和 $L_{2} : r = 214 + t 2 - 1 1$ 进行分类。

1
令分量相等得到方程组：
2
$1 - s = 2 + 2t, \quad 2 + s = 1 - t, \quad 1 + s = 4 + t$
3
求解前两个方程：相加得到 $3 = 3 + t ⟹ t = 0$ ，因此 $s = - 1$ 。
4
检验 $s = - 1, t = 0$ 是否满足第三个方程：左边 = $1 + (- 1) = 0$ ，右边 = $4 + 0 = 4$ 。 $0 \neq = 4$ ，因此无解。
5
检验方向向量是否平行： $(- 1, 1, 1)$ 不是 $(2, - 1, 1)$ 的标量倍，因此这两条直线是异面直线。

求两条直线的夹角时，将方向向量代入点积公式，结果取锐角（0°到90°），因为直线夹角的定义是两条直线之间的最小角。

5. 常见陷阱

错误做法:

假设所有不平行的三维直线都相交

原因:

三维空间中存在不相交也不平行的直线（异面直线）

正确做法:

求解三维直线交点时，始终要检验第三个方程，确认解是自洽的

错误做法:

计算两条直线的夹角时，没有对点积取绝对值

原因:

点积可能得到负的余弦值，但直线夹角始终是锐角

正确做法:

计算直线夹角时使用 $cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$

错误做法:

在直线方程中混淆位置向量和方向向量

原因:

这会导致直线上的点错误，得到错误的交点结果

正确做法:

记住： $a$ 是直线上的定点， $d$ 是乘以参数的方向向量

错误做法:

将和向量的模长错误计算为 $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

原因:

该等式仅对平行向量成立，对大多数向量不成立

正确做法:

先将 $a$ 和 $b$ 的分量相加，再计算结果向量的模长

错误做法:

将点积结果写为向量而非标量

原因:

点积的输出始终是单个数值，不是另一个向量

正确做法:

进行后续计算前，确认点积的结果是单个标量值

6. 速查表

概念	公式 / 规则
模长（二维）	$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
模长（三维）	$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$
点积（代数形式）	$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$
点积（几何形式）	$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$
向量间的夹角	$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$
直线间的夹角	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$
直线向量方程	$r = a + t d$
垂直向量	$a \cdot b = 0$
平行向量	$a = k b$ for scalar $k$
异面直线（三维）	不平行，无交点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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掌握二维和三维向量是IB AA SL所有后续几何主题的核心基础。本子主题经常同时出现在试卷1和试卷2中，通常会与三角学和坐标几何结合，形成多问、多分值的问题。你在这里学习的技巧也会为后续的数学学习提供支持，包括IB AA HL的向量微积分和三维几何。持续练习求解交点和夹角问题，能帮你建立考试日所需的速度和准确率。