二维与三维坐标几何

IB 数学：分析与方法 SL· 5 分钟阅读

1. 二维与三维坐标核心公式★★☆☆☆⏱ 15 min

所有核心坐标几何概念都可以自然地从二维拓展到三维：新增一条垂直于原有轴的 $z$ 轴。二维空间中点由两个坐标 $(x, y)$ 表示，而三维空间中的任意点都由三个坐标 $(x, y, z)$ 表示。

📘 定义

$P (x_{1}, y_{1}, z_{1}), Q (x_{2}, y_{2}, z_{2})$

两点间的直线距离是勾股定理的拓展，在三维中只需额外增加一项 $z$ 坐标差的平方项。

例:

从 $(0, 0, 0)$ 到 $(1, 2, 2)$ 的距离为 $距离 = 3$

📐 例题

求 $P (2, - 1, 4)$ 与 $Q (- 3, 2, 6)$ 之间的距离，以及两点中点的坐标。

1
回忆三维距离公式：
2
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
3
代入两点坐标：
4
$d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-1))^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2}$
5
化简得到最终距离：
6
$d = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38} \approx 6.16$
7
中点坐标是每个坐标的平均值，因此：
8
$M = \left(\frac{2 + (-3)}{2}, \frac{-1 + 2}{2}, \frac{4 + 6}{2}\right) = (-0.5, 0.5, 5)$

错误做法:

计算三维距离时遗漏 $z$ 坐标项

原因:

学生经常忘记将二维距离公式拓展到三维，导致结果错误

正确做法:

计算两个三维点之间的距离时，一定要加上 $(z_{2} - z_{1})^{2}$ 项

概念	二维公式	三维公式
两点间距离	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$
两点中点	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}, \frac{z _{1} + z _{2}}{2})$

距离与中点公式是IB AA SL几何问题求解的基础工具，在Paper 1和Paper 2中都会出现，常与三角学结合形成多步骤考题。掌握这些核心公式后，你将在本单元中进一步学习三角形三角学和三角函数。