二维与三维坐标几何

IB 数学：分析与方法 SL· 5 分钟阅读

1. 二维与三维坐标核心公式★★☆☆☆⏱ 15 min

所有核心坐标几何概念都可以自然地从二维拓展到三维：新增一条垂直于原有轴的 $z$ 轴。二维空间中点由两个坐标 $(x, y)$ 表示，而三维空间中的任意点都由三个坐标 $(x, y, z)$ 表示。

📘 定义

两点间距离

$P (x_{1}, y_{1}, z_{1}), Q (x_{2}, y_{2}, z_{2})$

两点间的直线距离是勾股定理的拓展，在三维中只需额外增加一项 $z$ 坐标差的平方项。

例:

从 $(0, 0, 0)$ 到 $(1, 2, 2)$ 的距离为 $e x t 距离 = 3$

📐 例题

求 $P (2, - 1, 4)$ 与 $Q (- 3, 2, 6)$ 之间的距离，以及两点中点的坐标。

1
回忆三维距离公式：
2
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
3
代入两点坐标：
4
$d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-1))^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2}$
5
化简得到最终距离：
6
$d = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38} \approx 6.16$
7
中点坐标是每个坐标的平均值，因此：
8
$M = \left(\frac{2 + (-3)}{2}, \frac{-1 + 2}{2}, \frac{4 + 6}{2}\right) = (-0.5, 0.5, 5)$

2. 二维与三维空间中的直线方程★★★☆☆⏱ 20 min

直线有多种表达形式。二维中最常见的形式是 $y = m x + c$ ，但该形式无法推广到三维直线。二维和三维中的所有直线都可以写成向量形式。

📘 定义

直线的向量方程

过位置向量为 $a$ 的点、方向向量为 $d$ 的直线方程为 $r = a + t d$ ，其中 $t \in R$ 是标量参数。

📐 例题

求过点 $(1, 3, - 2)$ 和 $(4, - 1, 1)$ 的直线的向量方程。

1
将两点的位置向量相减得到方向向量：
2
$\mathbf{d} = (4 - 1, -1 - 3, 1 - (-2)) = (3, -4, 3)$
3
选第一个点作为位置向量 $a$ ：
4
$\mathbf{a} = (1, 3, -2)$
5
代入直线向量方程的通式：
6
$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3 \\ -4 \\ 3\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

3. 三维空间中的平面方程★★★★☆⏱ 20 min

平面是在三维空间中无限延伸的平坦二维曲面。在考试题目中，平面最常写成点积形式（标量积形式）或笛卡尔坐标形式。

📘 定义

平面的标量积形式

过位置向量为 $a$ 的点、法向量为 $n$ （垂直于平面）的平面方程为 $r \cdot n = d$ ，其中 $d = a \cdot n$ 是常数。

📐 例题

求过点 $(2, 0, 1)$ 且法向量为 $n = (3, - 1, 4)$ 的平面的笛卡尔方程。

1
从标量积形式 $r \cdot n = d$ 出发：
2
将已知点代入方程计算 $d$ ：
3
$d = (2)(3) + (0)(-1) + (1)(4) = 6 + 0 + 4 = 10$
4
令 $r = (x, y, z)$ 即可得到笛卡尔形式：
5
$3x - y + 4z = 10$

4. 交点与夹角★★★★☆⏱ 25 min

常见的考试问题包括求直线与平面的交点，以及两条直线之间或直线与平面之间的夹角。这两类问题都需要用到代入法和标量积公式。

📐 例题

求直线 $r = 13 - 2 + t 3 - 4 3$ 与平面 $3 x - y + 4 z = 10$ 的交点。

1
写出直线的参数坐标： $x = 1 + 3 t$ , $y = 3 - 4 t$ , $z = - 2 + 3 t$
2
将这些代入平面方程：
3
$3(1 + 3t) - (3 - 4t) + 4(-2 + 3t) = 10$
4
展开并求解 $t$ ：
5
$3 + 9t - 3 + 4t - 8 + 12t = 10 \implies 25t = 18 \implies t = \frac{18}{25}$
6
代回 $t$ 得到交点坐标：
7
$\left(\frac{79}{25}, \frac{3}{25}, \frac{4}{25}\right) = (3.16, 0.12, 0.16)$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算三维距离时遗漏 $z$ 坐标项

原因:

学生经常忘记将二维距离公式拓展到三维，导致结果错误

正确做法:

计算两个三维点之间的距离时，一定要加上 $(z_{2} - z_{1})^{2}$ 项

错误做法:

直接将直线上的点坐标用作方向向量，而非将两点坐标相减

原因:

求过两点的直线方向向量时，学生经常将第二个点的坐标与方向向量混淆

正确做法:

对于过两点的直线，方向向量始终按 $d = 点 2 - 点 1$ 计算

错误做法:

判断两条直线是否相交时，对两条直线使用同一个参数 $t$

原因:

每条直线的参数都是独立的，强制让参数相同会错误地得出直线是异面的结论

正确做法:

求解两条直线的交点时，使用不同的参数（例如直线1用 $t$ ，直线2用 $s$ ）

错误做法:

计算直线与平面的夹角时误用公式 $cos θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$

原因:

方向向量与法向量的夹角是所求夹角的余角

正确做法:

直线与平面的夹角 $θ$ 应使用公式 $sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$

6. 速查表

概念	二维公式	三维公式
两点间距离	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$
两点中点	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}, \frac{z _{1} + z _{2}}{2})$
直线方程	$y = m x + c$ or $r = a + t d$	$r = a + t d$
平面方程	Not applicable	$a x + b y + cz = d$ , $r \cdot n = d$
两直线夹角	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$
直线与平面夹角	Not applicable	$sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
三维直线相交问题
2023 · 2
点到平面距离计算

下一步

二维与三维坐标几何是IB AA SL中所有几何问题求解的基础。本主题与向量运算联系紧密，你会不断使用向量来写方程、求解相交问题。掌握这些核心公式和方法至关重要，因为坐标几何会同时出现在试卷1和试卷2中，还经常结合三角或微积分出现在多问题的大题中。掌握本主题后，你将在此基础上学习解决更高级的问题，包括点到直线、点到平面的距离，以及坐标几何在实际建模问题中的应用。