# 二维与三维坐标几何

> IB 数学：分析与方法 SL · 第三单元：几何与三角
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/

本模块讲解二维与三维空间的核心坐标几何结论：两点之间的距离以及它们中点的坐标。

**先修:** 二维坐标系基础

## 学习目标

- 计算二维和三维坐标系中两点之间的距离以及它们中点的坐标

## 二维与三维坐标核心公式

所有核心坐标几何概念都可以自然地从二维拓展到三维：新增一条垂直于原有轴的$z$轴。二维空间中点由两个坐标$(x,y)$表示，而三维空间中的任意点都由三个坐标$(x,y,z)$表示。

**两点间距离** — 两点间的直线距离是勾股定理的拓展，在三维中只需额外增加一项$z$坐标差的平方项。

*记法:* $P(x_1,y_1,z_1), Q(x_2,y_2,z_2)$

*例:* 从$(0,0,0)$到$(1,2,2)$的距离为$\text{距离} = 3$

**例题:** 求$P(2, -1, 4)$与$Q(-3, 2, 6)$之间的距离，以及两点中点的坐标。

1. 回忆三维距离公式：
2. $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$
3. 代入两点坐标：
4. $$d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-1))^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2}$$
5. 化简得到最终距离：
6. $$d = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38} \approx 6.16$$
7. 中点坐标是每个坐标的平均值，因此：
8. $$M = \left(\frac{2 + (-3)}{2}, \frac{-1 + 2}{2}, \frac{4 + 6}{2}\right) = (-0.5, 0.5, 5)$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算三维距离时遗漏$z$坐标项
  - 原因: 学生经常忘记将二维距离公式拓展到三维，导致结果错误
  - 正确做法: 计算两个三维点之间的距离时，一定要加上$(z_2 - z_1)^2$项

## 速查表

| 概念 | 二维公式 | 三维公式 |
| --- | --- | --- |
| 两点间距离 | $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ | $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ |
| 两点中点 | $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$ |

## 下一步

距离与中点公式是IB AA SL几何问题求解的基础工具，在Paper 1和Paper 2中都会出现，常与三角学结合形成多步骤考题。掌握这些核心公式后，你将在本单元中进一步学习三角形三角学和三角函数。

- [直角三角形三角学与单位圆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-right-triangle-trigonometry-and-the/)
- [正弦定理、余弦定理与三角形面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-sine-rule-cosine-rule-and/)
- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/