# 函数图像变换

> IB 数学：分析与方法 SL · 函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-transformations-of-graphs-of-functions/

本小节讲解函数图像的平移、拉伸和反射如何对应函数方程的代数变化。你将学习如何应用变换绘制图像、求变换后函数的方程，这是一项核心考试技能。

**先修:** [函数符号和基础绘图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-introduction-to-functions/); 常见函数的图像（二次函数、指数函数、三角函数）

## 学习目标

- 识别单个变换对函数图像的影响
- 正确组合函数图像的多个变换
- 从原函数图像得到变换后函数的方程
- 根据原函数绘制变换后的图像

## 垂直变换

**垂直变换** — 函数 $f(x)$ 外部的代数改变会修改输出 $y$-值，导致平行于 $y$-轴的变换。

*记法:* Original function $y = f(x)$

*例:* $y = 2f(x)$, $y = f(x) + 3$, $y = -f(x)$

所有垂直变换的规律都符合直觉，与变化的符号一致。加常数使图像上移，减常数使图像下移。乘以大于1的常数会垂直拉伸，乘以0到1之间的常数会垂直压缩。乘以 $-1$ 会关于 $x$-轴反射。

**例题:** 原函数为 $f(x) = x^2$。写出 $y = 3f(x) - 2$ 的方程并描述变换。

1. 1. 识别变换：$f(x)$ 外的系数3是垂直拉伸，$-2$ 是垂直平移。
2. 2. 应用平行于 $y$-轴、比例系数为3的垂直拉伸：
3. $$y = 3x^2$$
4. 3. 减去2，应用向下平移2个单位：
5. $$y = 3x^2 - 2$$
6. 最终结果：原抛物线垂直拉伸3倍，然后向下平移2个单位。

> **考试提示:** $f(\cdot)$ 括号外的改变始终影响 $y$-坐标（垂直方向）。

## 水平变换

**水平变换** — 函数自变量内部的代数改变会修改输入 $x$-值，导致平行于 $x$-轴的变换，方向与符号相反。

*记法:* Original function $y = f(x)$

*例:* $y = f(2x)$, $y = f(x + 3)$, $y = f(-x)$

水平变换的规律与直觉相反：给 $x$ 加一个正常数会使图像左移，减常数会使图像右移。给 $x$ 乘以大于1的常数会按常数的倒数进行水平压缩，乘以0到1之间的常数会水平拉伸。乘以 $-1$ 会关于 $y$-轴反射。

> **tip**
>
> 一个好记的规则：*Inside is opposite, outside is same*（内部相反，外部相同），指平移方向。

**例题:** 原函数为 $f(x) = \sin x$。描述从 $f(x)$ 到 $g(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的变换。

1. 1. 分解正弦函数内部的表达式，分离 $x$ 的变换：
2. $$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$
3. 2. 识别两个变换：内部的系数2带来水平压缩，$-\frac{\pi}{6}$ 带来水平平移。
4. 3. 第一个变换：平行于 $x$-轴、比例系数 $\frac{1}{2}$ 的水平压缩。
5. 4. 第二个变换：向右水平平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位。

## 反射

反射将图像绕坐标轴翻转，是最简单的变换类型之一。IB考试中你需要掌握两种核心反射：

- 关于 $x$-轴反射：$y = -f(x)$，所有 $y$-值变号，每个点 $(a,b)$ 变为 $(a,-b)$
- 关于 $y$-轴反射：$y = f(-x)$，所有 $x$-值变号，每个点 $(a,b)$ 变为 $(-a,b)$

**例题:** 点 $(2, -3)$ 在 $y = f(x)$ 的图像上。求关于 $y$-轴反射后变换点的坐标。

1. 关于 $y$-轴反射意味着新函数是 $y = f(-x)$。
2. 为得到原输出 $y$，令 $-x = 2$，所以 $x = -2$。
3. $y$-值保持不变，因此 $y = -3$。
4. 最终变换后的点是 $(-2, -3)$。

## 组合多个变换

当应用多个变换时，应用顺序会改变最终结果。遵循这个简单规则：始终先进行拉伸和反射，再进行平移。对于函数内部的变换，分解自变量以正确识别每个变换的顺序和大小。

> **mnemonic**
>
> 由外到内，先伸后移：括号外的所有变换都在括号内的变换之后进行，任意坐标轴上都是先做拉伸/反射，再做平移。

**例题:** 从 $y = x^2$ 开始，写出经过以下变换后图像的方程：垂直拉伸2倍，关于 $x$-轴反射，向上平移1个单位，向左平移3个单位。

1. 1. 从原函数开始，定义 $f(x) = x^2$。
2. 2. 应用垂直拉伸2倍：$y = 2f(x) = 2x^2$。
3. 3. 应用关于 $x$-轴反射：乘以 $-1$：$y = -2x^2$。
4. 4. 应用向上平移1个单位：在函数外加1：$y = -2x^2 + 1$。
5. 5. 应用向左平移3个单位：将 $x$ 替换为 $(x + 3)$：$y = -2(x + 3)^2 + 1$。
6. 如果你先平移再拉伸，会得到错误结果 $y = -2(x+3)^2 + 2$，它的垂直平移量是错误的。

**概念自测**

检查你对变换顺序的理解：

1. 从 $y = f(x)$ 得到 $y = 2f(x + 1) - 3$ 的正确顺序是什么？

   - 向左平移1，垂直拉伸2倍，向下平移3
   - 垂直拉伸2倍，向左平移1，向下平移3
   - 向下平移3，向左平移1，垂直拉伸2倍

   *答案:* 垂直拉伸2倍，向左平移1，向下平移3

   *解析:* 正确！规则是：拉伸/反射优先，然后平移，由内到外计算，因此水平平移在括号外的垂直变换之前。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $f(x)$ 向右平移2个单位得到 $f(x + 2)$
  - 原因: 水平平移的方向与括号内变化的符号相反。
  - 正确做法: 向右平移2个单位得到 $f(x - 2)$。
- **错误做法:** 将 $f(2x - 6)$ 写成 $f(2(x - 6))$ 并向右平移6个单位
  - 原因: 你必须提出x的系数才能得到正确的平移量。
  - 正确做法: 分解得到 $f(2(x - 3))$，因此向右平移3个单位。
- **错误做法:** 先做垂直平移再做垂直拉伸，对拉伸2倍、向上平移3个单位得到 $y = 2f(x) + 6$
  - 原因: 拉伸必须始终在平移之前进行，避免平移量也被缩放。
  - 正确做法: 先做拉伸：$y = 2f(x)$，再加平移：$y = 2f(x) + 3$。
- **错误做法:** 混淆反射：将关于x轴的反射写成 $y = f(-x)$
  - 原因: 负号在外部影响y（x轴反射），负号在内部影响x（y轴反射）。
  - 正确做法: 关于x轴反射是 $y = -f(x)$，关于y轴反射是 $y = f(-x)$。
- **错误做法:** 将 $y = f(2x)$ 称为水平拉伸2倍
  - 原因: x的系数是水平比例系数的倒数。
  - 正确做法: $y = f(2x)$ 是比例系数 $\frac{1}{2}$ 的水平压缩；$y = f(\frac{x}{2})$ 才是拉伸2倍。

## 速查表

| 变换 | 代数形式 | 效果 |
| --- | --- | --- |
| 向上垂直平移 $k$ | $y = f(x) + k$ | $(a,b) \to (a, b+k)$ |
| 向下垂直平移 $k$ | $y = f(x) - k$ | $(a,b) \to (a, b-k)$ |
| 向左水平平移 $k$ | $y = f(x + k)$ | $(a,b) \to (a-k, b)$ |
| 向右水平平移 $k$ | $y = f(x - k)$ | $(a,b) \to (a+k, b)$ |
| 垂直拉伸 $k$ 倍 | $y = kf(x)$ | All $y$-values $\times k$ |
| 水平拉伸 $k$ 倍 | $y = f(\frac{x}{k})$ | All $x$-values $\times k$ |
| 关于x轴反射 | $y = -f(x)$ | 绕x轴翻转 |
| 关于y轴反射 | $y = f(-x)$ | 绕y轴翻转 |

## 下一步

掌握图像变换是你在整个IB AA SL课程中都会用到的基础技能。你会在研究复合函数、反函数、将二次函数写为顶点式、绘制变换后的三角函数图像时用到它。它还能让你为微积分问题快速绘制不熟悉的函数，帮助你理解参数变化如何改变函数行为。本主题直接建立在核心函数概念之上，是你应对两张试卷考试问题所需的更高级绘图技能的基础。

- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-composite-and-inverse-functions/)
- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/)
- [二次函数、根与判别式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-discriminant/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-transformations-of-graphs-of-functions/