使用图形计算器（GDC）以图像法和解析法求解方程

IB 数学：分析与方法 SL· 20 分钟阅读

1. 1. 区分解析法与GDC图像法★★☆☆☆⏱ 8 min

在IB考试中求解任何方程前，首先确认题目是否允许使用GDC，以及要求得到精确解还是近似解。Paper 1的题目几乎始终要求写出完整的解析过程以得到精确答案，而Paper 2的题目通常可以借助GDC图像功能更快求解。

📘 定义

精确解析解

以整数、分数或最简根式形式表达的解，无需舍入，不存在近似误差

例:

$x = 3$ or $x = \frac{1 + 5}{2}$

📐 例题

指出以下考题最适合使用的求解方法：'求解 $2 x + 7 = 19$ ，得到精确的 $x$ '

1
步骤1：题目要求得到精确解，本题为Paper 1场景，不允许使用GDC
2
$2x = 19 -7 = 12$
3
$x = 12 / 2 = 6$

2. 2. 分步解析求解流程★★★☆☆⏱ 10 min

使用解析法求解时，始终先将原方程整理为 $f (x) = 0$ 的形式，再进行因式分解、套用二次公式或使用其他代数技巧。这可以减少移项过程中出现符号错误的概率。

🔬 推导

目标:

推导 $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的精确解

起点:

标准二次形式 $a x^{2} + b x + c = 0$

1
识别系数： $a = 3$ , $b = - 5$ , $c = - 2$
2
$二次公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$$
3
$代入数值：$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm7}{6}$$
4
计算两个根，得到精确值

结果:

精确解为 $x = 2$ 和 $x = - \frac{1}{3}$

📐 例题

用解析法求解 $\frac{2}{x} = x + 1$ ，得到精确的 $x$

1
步骤1：注意定义域限制 $x \neq = 0$
2
$两边同乘x：$2 = x^2 + x$$
3
$整理为 $x^2 +x -2 = 0$$
4
$因式分解：$(x+2)(x-1) = 0$$
5
最终精确解： $x = 1$ , $x = - 2$ （均满足定义域限制）

3. 3. GDC图像法完整求解流程★★★☆☆⏱ 12 min

📊 仅图形计算器

使用GDC求解时，可以采用两种标准流程之一：要么绘制 $y_{1} = f (x)$ 和 $y_{2} = 0$ 的图像再找到x轴截距，要么绘制 $y_{1} = f (x)$ 和 $y_{2} = g (x)$ 的图像再找到它们的交点。两种方法都有效，但对于不易整理的方程，交点法速度更快。

📐 例题

使用TI-84型GDC求解 $e^{x} = x + 4$ ，结果保留三位有效数字

1
步骤1：在图像菜单中输入Y1 = e^x，Y2 = x +4
2
步骤2：调整窗口参数为Xmin=-5, Xmax=5, Ymin=-2, Ymax=10，显示所有交点
3
步骤3：依次按下2ND > CALC > intersect，选中两条曲线，在左侧交点附近取猜测值，得到第一个根
4
步骤4：重复交点操作，找到右侧交点，得到第二个根
5
最终三位有效数字解： $x \approx 1.75$ , $x \approx - 2.80$

✓ 快速检测

测试你的GDC相关知识：

如果你的GDC返回没有交点，最不可能是以下哪一种原因？
- 你的方程没有实根
- 你的窗口范围太小
- 你输入的函数有误
- 以上所有都是可能的原因
显示答案
All of the above —
以上三种都是常见原因，你需要先检查函数输入是否正确，再扩大窗口范围，最后才能得出不存在实根的结论。

4. 4. 两种方法交叉验证解★★★★☆⏱ 7 min

IB考试阅卷官只会给解题过程前后一致的答案满分。如果你先用解析法求解，可以把得到的解代回GDC图像，确认它和根或交点的位置匹配，反之亦然。

方法对比

对比两种求解方法在考试中的适用场景：

解析法

得到精确解，没有舍入误差，是Paper 1的强制要求

+ 优点: 在要求精确答案的题目中可以保证拿到全部分数

− 缺点: 求解复杂函数速度慢，出现代数运算错误的概率更高

GDC图像法

数秒内得到三位有效数字的近似解，非常适合Paper 2使用

+ 优点: 速度极快，避免代数运算错误

− 缺点: 无法直接返回精确的根式或分数解

5. 常见陷阱

错误做法:

在明确要求得到精确解的题目中使用GDC近似求解

原因:

即使你的近似值和精确解非常接近，IB阅卷官也会扣除所有过程分

正确做法:

答题前先检查题目中是否出现了'精确'字样，这类题目必须写出完整的代数推导过程

错误做法:

求解有理方程后忘记排除违反定义域限制的无效解

原因:

你可能会得到一个使原方程分母为零的根，它不是合法的实解

正确做法:

找到所有候选解后，将每个解代回原方程，确认该点处表达式有定义

错误做法:

将GDC得到的解舍入为两位有效数字，而不是要求的三位

原因:

除非题目另有说明，IB AA SL对所有近似答案的默认要求都是三位有效数字，规则非常严格

正确做法:

在写下最终答案前，再次检查GDC的输出结果，确保舍入到三位有效数字

错误做法:

即使整道题都用GDC求解，也完全不写任何推导过程

原因:

如果你只写最终答案，完全没有说明你使用了GDC交点工具，会丢失过程分

正确做法:

写一行简短说明，例如'使用GDC交点功能，得x=2.34'，记录你的解题过程

6. 速查表

方法	最适用场景	要求输出	对应考卷
解析法求解	精确解，Paper 1	化简后的精确值	Paper 1（禁止使用GDC）
GDC根查找功能	求f(x)=0的根	三位有效数字近似值	Paper 2（允许使用GDC）
GDC交点功能	求解f(x)=g(x)	三位有效数字近似值	Paper 2（允许使用GDC）
交叉验证	检查所有解	确认没有遗漏根	两份考卷通用

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · Paper 2
二次有理方程求解
2023 · Paper 2
一次与指数方程组求解
2022 · Paper 2
交叉验证GDC解与解析解

下一步

现在你已经可以熟练使用解析法和GDC图像法求解方程，接下来你会在此基础上学习求解多变量方程组，这是IB AA SL Paper 2中分值为6-8分的常见题型。你还会学习如何通过判别式分析判断函数的根的数量，在提交最终答案前确认GDC已经找到所有可能的实根。这些技巧结合起来可以大幅缩短你的考试解题时间，降低高分值函数题的粗心错误率。