倒数函数与有理函数

IB 数学 AA SL· Topic 2: Functions· 35 分钟阅读

1. 倒数函数：关键特征★★☆☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

倒数函数

$f (x) = \frac{k}{x - h} + v, k \neq = 0$

由基本倒数函数 $y = \frac{1}{x}$ 平移和拉伸得到的变形倒数函数。分母不能为零，因此定义域存在限制。

例:

$f (x) = \frac{3}{x - 2} + 1$

对于上述标准形式的任意倒数函数：垂直渐近线（函数无定义的位置）出现在 $x = h$ 处；当 $x$ 的绝对值无限增大时，函数趋近的水平渐近线出现在 $y = v$ 处。

📐 例题

对于 $f (x) = \frac{4}{x + 2} - 1$ ，求：(i) 定义域，(ii) 渐近线方程，(iii) 值域。

1
令分母等于零，找出被排除的定义域值：
2
$x+2 = 0 \implies x = -2$
3
定义域是除 $x = - 2$ 以外的所有实数，记为： $x \in R, x \neq = - 2$
4
与标准形式 $\frac{k}{x - h} + v$ 对比：此处 $h = - 2$ ， $v = - 1$ ，因此：
5
垂直渐近线： $x = - 2$ ，水平渐近线： $y = - 1$
6
函数永远不可能等于水平渐近线的值，因此值域为： $y \in R, y \neq = - 1$

Exam tip:

永远要把渐近线写成完整方程，不要只写数字。考官不会给只写 $- 2$ 而不写 $x = - 2$ 的答案打分。

2. 一次比一次有理函数★★★☆☆⏱ 20 min

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📘 定义

简单有理函数

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}, c \neq = 0$

分子和分母都是一次多项式的有理函数，是 IB AA SL 考试中最常考察的形式。

求这种形式的渐近线：

垂直渐近线：令分母等于零，解出 $x$ 。
水平渐近线：分子分母同除以 $x$ ，当 $x \to \pm \infty$ 时极限为 $\frac{a}{c}$ ，因此渐近线为 $y = \frac{a}{c}$ 。

📐 例题

对于 $f (x) = \frac{3 x + 6}{x - 2}$ ，求所有渐近线以及x截距和y截距。

1
求垂直渐近线：令分母等于零：
2
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
3
垂直渐近线： $x = 2$
4
求水平渐近线：分子的首项系数为3，分母的首项系数为1：
5
$y = \frac{3}{1} = 3$
6
水平渐近线： $y = 3$
7
求y截距：代入 $x = 0$ ：
8
$f(0) = \frac{0 + 6}{0 - 2} = -3 \implies \text{y-intercept } (0, -3)$
9
求x截距：令分子等于零：
10
$3x + 6 = 0 \implies x = -2 \implies \text{x-intercept } (-2, 0)$

3. 求解有理方程★★★☆☆⏱ 15 min

求解有理方程时，首先两边同乘最简公分母消去分母，然后求解得到的一次或二次方程。永远要将你的解与原定义域限制进行核对。

📐 例题

解方程 $\frac{2 x}{x - 1} = 5 + \frac{2}{x - 1}$

1
首先注意定义域限制：分母 $x - 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = 1$
2
每一项都乘以 $(x - 1)$ 消去分母：
3
$2x = 5(x-1) + 2$
4
展开并化简：
5
$2x = 5x - 5 + 2 \implies -3x = -3 \implies x = 1$
6
对照定义域限制检查： $x = 1$ 不被允许，因此这是增根
7
结论：该方程无实数解

Exam tip:

如果题目问解的个数，永远记住只统计有效的非增根解。

4. 常见陷阱

错误做法:

只写渐近线的数值，例如写 $2$ 而不是 $x = 2$

原因:

考官要求写出渐近线的完整方程，而不只是截距值

正确做法:

始终将垂直渐近线写成 $x = a$ ，水平渐近线写成 $y = b$

错误做法:

求解有理方程后忘记检查增根

原因:

乘以分母可能会引入不满足原方程的无效解

正确做法:

始终将所有解对照原定义域检查，舍去使分母为零的解

错误做法:

混淆 $\frac{a x + b}{c x + d}$ 的垂直和水平渐近线公式，写成 $y = - \frac{d}{c}$

原因:

混淆了垂直和水平渐近线的计算方法

正确做法:

垂直渐近线来自分母： $x = - \frac{d}{c}$ ，水平渐近线来自首项系数之比： $y = \frac{a}{c}$

错误做法:

认为图像可以穿过垂直渐近线

原因:

对渐近线定义的误解

正确做法:

垂直渐近线是函数无定义的直线，图像永远不会穿过它们

5. 速查表

特征	倒数函数 $\frac{k}{x - h} + v$	一次比一次 $\frac{a x + b}{c x + d}$
垂直渐近线	$x = h$	$x = - \frac{d}{c}$
水平渐近线	$y = v$	$y = \frac{a}{c}$
定义域	$x \neq = h$	$x \neq = - \frac{d}{c}$
值域	$y \neq = v$	$y \neq = \frac{a}{c}$
x截距	Solve $\frac{k}{x - h} + v = 0$	$x = - \frac{b}{a}$
y截距	Substitute $x = 0$	$y = \frac{b}{d}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求有理函数的渐近线
2022 · 2
求解有理方程，绘制图像

深入阅读

syllabusIB AA SL 官方大纲主题2完整学习目标参考

下一步

倒数函数和有理函数是 IB AA SL 课程中更高级主题的基础。当你学习函数变换和求解有理不等式时，你会用到渐近线和定义域限制的知识。这些函数也经常出现在微积分主题中，包括非多项式函数的求导和积分，理解它们的关键特征将帮助你解决考试中的应用题。掌握这个子主题也能为你学习其他非线性函数（如对数函数和三角函数）做好准备。