# 倒数函数与有理函数

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-reciprocal-and-rational-functions/

本模块讲解 IB AA SL 的倒数函数和简单一次比一次有理函数。你将学习如何找到关键特征、绘制图像和求解有理方程，完全符合考试要求。

**先修:** [多项式函数和定义域/值域概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-polynomial-functions/); 求解一次方程和二次方程

## 学习目标

- 识别并定义倒数函数和简单有理函数
- 求定义域、值域和渐近线方程
- 计算截距并绘制这些函数的图像
- 求解有理方程并识别增根

## 倒数函数：关键特征

**倒数函数** — 由基本倒数函数 $y = \frac{1}{x}$ 平移和拉伸得到的变形倒数函数。分母不能为零，因此定义域存在限制。

*记法:* $f(x) = \frac{k}{x-h} + v, k \neq 0$

*例:* $f(x) = \frac{3}{x-2} + 1$

对于上述标准形式的任意倒数函数：垂直渐近线（函数无定义的位置）出现在 $x=h$ 处；当 $x$ 的绝对值无限增大时，函数趋近的水平渐近线出现在 $y=v$ 处。

**例题:** 对于 $f(x) = \frac{4}{x+2} - 1$，求：(i) 定义域，(ii) 渐近线方程，(iii) 值域。

1. 令分母等于零，找出被排除的定义域值：
2. $$x+2 = 0 \implies x = -2$$
3. 定义域是除 $x=-2$ 以外的所有实数，记为：$x \in \mathbb{R}, x \neq -2$
4. 与标准形式 $\frac{k}{x-h} + v$ 对比：此处 $h=-2$，$v=-1$，因此：
5. 垂直渐近线：$x = -2$，水平渐近线：$y=-1$
6. 函数永远不可能等于水平渐近线的值，因此值域为：$y \in \mathbb{R}, y \neq -1$

> **tip**
>
> 始终按照 $(h,v)$ 平移你的图像：两个分支的中心位于渐近线交点 $(h,v)$。

> **考试提示:** 永远要把渐近线写成完整方程，不要只写数字。考官不会给只写 $-2$ 而不写 $x=-2$ 的答案打分。

*计算器:* forbidden

## 一次比一次有理函数

**简单有理函数** — 分子和分母都是一次多项式的有理函数，是 IB AA SL 考试中最常考察的形式。

*记法:* $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}, c \neq 0$

求这种形式的渐近线：
1. 垂直渐近线：令分母等于零，解出 $x$。
2. 水平渐近线：分子分母同除以 $x$，当 $x \to \pm \infty$ 时极限为 $\frac{a}{c}$，因此渐近线为 $y = \frac{a}{c}$。

**例题:** 对于 $f(x) = \frac{3x + 6}{x - 2}$，求所有渐近线以及x截距和y截距。

1. 求垂直渐近线：令分母等于零：
2. $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$
3. 垂直渐近线：$x=2$
4. 求水平渐近线：分子的首项系数为3，分母的首项系数为1：
5. $$y = \frac{3}{1} = 3$$
6. 水平渐近线：$y=3$
7. 求y截距：代入 $x=0$：
8. $$f(0) = \frac{0 + 6}{0 - 2} = -3 \implies \text{y-intercept } (0, -3)$$
9. 求x截距：令分子等于零：
10. $$3x + 6 = 0 \implies x = -2 \implies \text{x-intercept } (-2, 0)$$

*计算器:* forbidden

## 求解有理方程

求解有理方程时，首先两边同乘最简公分母消去分母，然后求解得到的一次或二次方程。永远要将你的解与原定义域限制进行核对。

> **warning**
>
> 乘以分母可能会引入使原分母为零的增根，这些增根是无效的。阅卷老师永远会给检查增根这一步分配分数。

**例题:** 解方程 $\frac{2x}{x-1} = 5 + \frac{2}{x-1}$

1. 首先注意定义域限制：分母 $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
2. 每一项都乘以 $(x-1)$ 消去分母：
3. $$2x = 5(x-1) + 2$$
4. 展开并化简：
5. $$2x = 5x - 5 + 2 \implies -3x = -3 \implies x = 1$$
6. 对照定义域限制检查：$x=1$ 不被允许，因此这是增根
7. 结论：该方程无实数解

> **考试提示:** 如果题目问解的个数，永远记住只统计有效的非增根解。

## 常见错误

- **错误做法:** 只写渐近线的数值，例如写 $2$ 而不是 $x=2$
  - 原因: 考官要求写出渐近线的完整方程，而不只是截距值
  - 正确做法: 始终将垂直渐近线写成 $x=a$，水平渐近线写成 $y=b$
- **错误做法:** 求解有理方程后忘记检查增根
  - 原因: 乘以分母可能会引入不满足原方程的无效解
  - 正确做法: 始终将所有解对照原定义域检查，舍去使分母为零的解
- **错误做法:** 混淆 $\frac{ax+b}{cx+d}$ 的垂直和水平渐近线公式，写成 $y=-\frac{d}{c}$
  - 原因: 混淆了垂直和水平渐近线的计算方法
  - 正确做法: 垂直渐近线来自分母：$x=-\frac{d}{c}$，水平渐近线来自首项系数之比：$y=\frac{a}{c}$
- **错误做法:** 认为图像可以穿过垂直渐近线
  - 原因: 对渐近线定义的误解
  - 正确做法: 垂直渐近线是函数无定义的直线，图像永远不会穿过它们

## 速查表

| 特征 | 倒数函数 $\frac{k}{x-h} + v$ | 一次比一次 $\frac{ax+b}{cx+d}$ |
| --- | --- | --- |
| 垂直渐近线 | $x = h$ | $x = -\frac{d}{c}$ |
| 水平渐近线 | $y = v$ | $y = \frac{a}{c}$ |
| 定义域 | $x \neq h$ | $x \neq -\frac{d}{c}$ |
| 值域 | $y \neq v$ | $y \neq \frac{a}{c}$ |
| x截距 | Solve $\frac{k}{x-h} + v=0$ | $x = -\frac{b}{a}$ |
| y截距 | Substitute $x=0$ | $y = \frac{b}{d}$ |

## 下一步

倒数函数和有理函数是 IB AA SL 课程中更高级主题的基础。当你学习函数变换和求解有理不等式时，你会用到渐近线和定义域限制的知识。这些函数也经常出现在微积分主题中，包括非多项式函数的求导和积分，理解它们的关键特征将帮助你解决考试中的应用题。掌握这个子主题也能为你学习其他非线性函数（如对数函数和三角函数）做好准备。

- [指数函数与对数函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions-and/)
- [几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-overview/)
- [二维与三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-reciprocal-and-rational-functions/