二次函数、根与判别式

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 2: Functions, Topic 2.5· 15 分钟阅读

1. 根与判别式：核心定义★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

判别式

$Δ$

对于标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）的二次方程，判别式是由系数计算得到的值，用于判断根的性质，公式为 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。

例:

对于 $2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ ， $Δ = (- 5)^{2} - 4 (2) (1) = 17$ 。

二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根是满足方程的x值，这些根恰好对应二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的x轴交点。

📐 例题

计算二次方程 $3 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的判别式。

1
首先，从标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 中识别系数：
2
$a = 3, \quad b = 2, \quad c = -4$
3
代入判别式公式计算 $Δ$ ：
4
$\Delta = (2)^2 - 4(3)(-4) = 4 + 48 = 52$

2. 解读判别式：根的性质★★☆☆☆⏱ 5 min

判别式的值告诉我们二次函数有多少个实根（以及多少个x轴交点）。IB AA SL仅讨论实根，因此我们分为三种不同情况：

若 $Δ > 0$ ：两个不同实根 → 两个不同x轴交点
若 $Δ = 0$ ：一个重（相等）实根 → 抛物线恰好与x轴相切于一点（顶点在x轴上）
若 $Δ < 0$ ：无实根 → 抛物线从不与x轴相交，所有函数值符号与 $a$ 相同

📐 例题

二次函数为 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ ，确定它有多少个x轴交点。

1
求x轴交点需令 $f (x) = 0$ ，得到二次方程：
2
$x^2 - 4x + 5 = 0$
3
计算判别式：
4
$a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \\ \Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$
5
解读结果得到答案：
6
$\Delta < 0 \implies \text{0 个实根，因此 0 个x轴交点}$

3. 将判别式应用于含未知系数的问题★★★☆☆⏱ 5 min

本知识点最常见的考题是：给出含未知常数（通常记为 $k$ ）的二次式，给出根的条件，要求求出 $k$ 的可能取值。方法始终一致：用未知量写出 $Δ$ ，代入 $Δ$ 满足的条件，再求解得到的方程或不等式。

📐 例题

Find 使得 $x^{2} + 2 k x + 9 = 0$ 有两个不同实根的 $k$ 的取值范围。

1
用 $k$ 表示系数：
2
$a = 1, \quad b = 2k, \quad c = 9$
3
计算并化简判别式：
4
$\Delta = (2k)^2 - 4(1)(9) = 4k^2 - 36$
5
代入两个不同实根的条件，要求 $Δ > 0$ ：
6
$4k^2 - 36 > 0 \\ k^2 - 9 > 0 \\ (k - 3)(k + 3) > 0$
7
求解不等式得到最终解：
8
$k < -3 \text{ or } k > 3$

✓ 快速检测

检验你的理解：

对于抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ ），要使其始终位于x轴上方，正确的条件是什么？
- $Δ < 0$
- $Δ = 0$
- $Δ > 0$
- $a > 0$
显示答案
$\Delta < 0$ —
正确！当 $a > 0$ 时抛物线开口向上，若 $Δ < 0$ 则它从不与x轴相交，因此始终位于x轴上方。

4. 常见陷阱

错误做法:

整理二次方程至等于零后，c的符号取错

原因:

符号错误是判别式计算中最常见的错误，c为负时会改变 $4 a c$ 项的符号。

正确做法:

始终先将方程整理为 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的形式，写下a、b、c（包含它们明确的符号）后再计算 $Δ$ 。

错误做法:

表述 $Δ = 0$ 对应两个实根

原因:

$Δ = 0$ 对应一个重根，不是两个不同根，这是考试中常见的扣分错误。

正确做法:

当 $Δ = 0$ 时，使用表述"一个实重根"或"一个实根"。

错误做法:

两个不同根写 $Δ \geq 0$ ，至少一个实根写 $Δ > 0$

原因:

题目的表述直接定义了所需的不等式，不等式不匹配会丢掉容易得的分数。

正确做法:

严格匹配条件：两个不同根 → $Δ > 0$ ，至少一个实根 → $Δ \geq 0$ 。

错误做法:

当首项系数未知时，忘记检查它不为零

原因:

如果 $x^{2}$ 的系数未知，使得系数为零的值会得到线性方程而非二次方程，改变根的数量。

正确做法:

当首项系数含未知常数时，始终先确认 $a \neq = 0$ 。

错误做法:

当c为负时错误计算 $- 4 a c$ ：例如 $c = - 2$ ，错误写成 $- 4 a (- 2) = - 8 a$

原因:

负负相乘的乘法错误在判别式计算中极其常见。

正确做法:

反复检查 $- 4 a c$ 项的符号：负乘负得正。

5. 速查表

判别式的值	实根数量	x轴交点数量	图像描述
$Δ > 0$	2个不同	2	与x轴交于两点
$Δ = 0$	1个重根	1	在顶点处与x轴相切
$Δ < 0$	0	0	从不与x轴相交

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求两个不同实根对应的k值
2023 · 2
确定x轴交点的数量
2021 · 1
求重根对应的k值

深入阅读

Website可汗学院：判别式复习

下一步

掌握二次函数的判别式和根是一项基础技能，几乎延伸到IB AA SL的所有其他代数和几何知识点。当你求直线和曲线的交点时，会用到完全相同的思路：联立方程得到二次式，再用判别式求出交点数量。这是坐标几何和切线问题中非常常见的考题。在课程后面学习三次和四次函数时，你还会把这些概念推广到高阶多项式。现在熟练掌握判别式，能帮助你在更复杂的问题中避免简单错误。