# 二次函数、根与判别式

> IB 数学：分析与方法 SL · 函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-discriminant/

本小节讲解如何利用二次函数的判别式求根的数量和性质，这些根对应抛物线的x轴交点。我们还会应用判别式求解含未知系数的常见考题。

**先修:** [二次函数基础与图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-introduction-to-quadratic-functions/); [二次公式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-equations/)

## 学习目标

- 计算一元二次方程的判别式
- 利用判别式确定二次根的数量和性质
- 将判别式的值与二次函数图像的x轴交点数量关联起来
- 求解含未知系数且涉及判别式条件的考题

## 根与判别式：核心定义

**判别式** — 对于标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的二次方程，判别式是由系数计算得到的值，用于判断根的性质，公式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。

*记法:* $\Delta$

*例:* 对于 $2x^2 - 5x + 1 = 0$，$\Delta = (-5)^2 - 4(2)(1) = 17$。

二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根是满足方程的x值，这些根恰好对应二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的x轴交点。

**例题:** 计算二次方程 $3x^2 + 2x - 4 = 0$ 的判别式。

1. 首先，从标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$ 中识别系数：
2. $$a = 3, \quad b = 2, \quad c = -4$$
3. 代入判别式公式计算 $\Delta$：
4. $$\Delta = (2)^2 - 4(3)(-4) = 4 + 48 = 52$$

## 解读判别式：根的性质

判别式的值告诉我们二次函数有多少个实根（以及多少个x轴交点）。IB AA SL仅讨论实根，因此我们分为三种不同情况：

- 若 $\Delta > 0$：两个不同实根 → 两个不同x轴交点
- 若 $\Delta = 0$：一个重（相等）实根 → 抛物线恰好与x轴相切于一点（顶点在x轴上）
- 若 $\Delta < 0$：无实根 → 抛物线从不与x轴相交，所有函数值符号与$a$相同

> **warning**
>
> 重根仍然只是一个实根，不是两个。考官经常会给错误表述$\Delta=0$对应两个根的考生扣分。

**例题:** 二次函数为 $f(x) = x^2 - 4x + 5$，确定它有多少个x轴交点。

1. 求x轴交点需令 $f(x) = 0$，得到二次方程：
2. $$x^2 - 4x + 5 = 0$$
3. 计算判别式：
4. $$a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \\ \Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$$
5. 解读结果得到答案：
6. $$\Delta < 0 \implies \text{0 个实根，因此 0 个x轴交点}$$

## 将判别式应用于含未知系数的问题

本知识点最常见的考题是：给出含未知常数（通常记为$k$）的二次式，给出根的条件，要求求出$k$的可能取值。方法始终一致：用未知量写出$\Delta$，代入$\Delta$满足的条件，再求解得到的方程或不等式。

**例题:** Find 使得 $x^2 + 2kx + 9 = 0$ 有两个不同实根的$k$的取值范围。

1. 用$k$表示系数：
2. $$a = 1, \quad b = 2k, \quad c = 9$$
3. 计算并化简判别式：
4. $$\Delta = (2k)^2 - 4(1)(9) = 4k^2 - 36$$
5. 代入两个不同实根的条件，要求$\Delta > 0$：
6. $$4k^2 - 36 > 0 \\ k^2 - 9 > 0 \\ (k - 3)(k + 3) > 0$$
7. 求解不等式得到最终解：
8. $$k < -3 \text{ or } k > 3$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 对于抛物线 $y = ax^2 + bx + c$（$a>0$），要使其始终位于x轴上方，正确的条件是什么？

   - $\Delta < 0$
   - $\Delta = 0$
   - $\Delta > 0$
   - $a > 0$

   *解析:* 正确！当$a>0$时抛物线开口向上，若$\Delta < 0$则它从不与x轴相交，因此始终位于x轴上方。

## 常见错误

- **错误做法:** 整理二次方程至等于零后，c的符号取错
  - 原因: 符号错误是判别式计算中最常见的错误，c为负时会改变$4ac$项的符号。
  - 正确做法: 始终先将方程整理为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，写下a、b、c（包含它们明确的符号）后再计算$\Delta$。
- **错误做法:** 表述$\Delta = 0$对应两个实根
  - 原因: $\Delta = 0$对应一个重根，不是两个不同根，这是考试中常见的扣分错误。
  - 正确做法: 当$\Delta = 0$时，使用表述"一个实重根"或"一个实根"。
- **错误做法:** 两个不同根写$\Delta \geq 0$，至少一个实根写$\Delta > 0$
  - 原因: 题目的表述直接定义了所需的不等式，不等式不匹配会丢掉容易得的分数。
  - 正确做法: 严格匹配条件：两个不同根 → $\Delta > 0$，至少一个实根 → $\Delta \geq 0$。
- **错误做法:** 当首项系数未知时，忘记检查它不为零
  - 原因: 如果$x^2$的系数未知，使得系数为零的值会得到线性方程而非二次方程，改变根的数量。
  - 正确做法: 当首项系数含未知常数时，始终先确认 $a \neq 0$。
- **错误做法:** 当c为负时错误计算$-4ac$：例如$c=-2$，错误写成 $-4a(-2) = -8a$
  - 原因: 负负相乘的乘法错误在判别式计算中极其常见。
  - 正确做法: 反复检查$-4ac$项的符号：负乘负得正。

## 速查表

| 判别式的值 | 实根数量 | x轴交点数量 | 图像描述 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\Delta > 0$ | 2个不同 | 2 | 与x轴交于两点 |
| $\Delta = 0$ | 1个重根 | 1 | 在顶点处与x轴相切 |
| $\Delta < 0$ | 0 | 0 | 从不与x轴相交 |

## 下一步

掌握二次函数的判别式和根是一项基础技能，几乎延伸到IB AA SL的所有其他代数和几何知识点。当你求直线和曲线的交点时，会用到完全相同的思路：联立方程得到二次式，再用判别式求出交点数量。这是坐标几何和切线问题中非常常见的考题。在课程后面学习三次和四次函数时，你还会把这些概念推广到高阶多项式。现在熟练掌握判别式，能帮助你在更复杂的问题中避免简单错误。

- [倒数函数与有理函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-reciprocal-and-rational-functions/)
- [指数函数与对数函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions-and/)
- [几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u3-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-discriminant/