# 函数

> IB 数学 AA SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-overview/
> 占比: 占考试总分的 20-23%

本单元涵盖IB AA SL考试考察的核心函数概念、代数运算、图像变换，以及所有关键函数类型的分析。函数是数学建模的基础，会出现在所有考试部分中。

**先修:** 基础代数运算和方程求解; 第一单元的坐标几何基础

## 学习目标

- 识别并使用标准符号、定义域和值域约定正确表示函数
- 对复合函数和反函数进行代数运算，并从图像角度关联它们的性质
- 应用图像变换规则绘制和分析大纲涵盖的所有类型函数
- 分析常见函数类型的关键性质，解决数学和实际建模问题

## 单元概览

函数是数学中定量建模的支柱，本单元从核心定义逐步推进到本课程全程使用的最常见函数类型的应用分析。我们从基础定义和符号开始，再进阶到高级代数运算和图像变换，最后深入研究IB考试中各主要函数类型的特有性质。

以下是本单元的所有子主题，按循序渐进构建知识的顺序排列：
- [函数概念、定义域、值域和符号](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-function-concepts-domain-range-and/) — 学习函数的正式定义，以及如何计算任意关系的定义域和值域。
- [复合函数和反函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-composite-and-inverse-functions/) — 将函数组合为复合函数，并从代数和图像两种方法求反函数。
- [函数图像的变换](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-transformations-of-graphs-of-functions/) — 掌握任意函数图像的平移、拉伸、反射以及变换组合。
- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/) — 复习和拓展一次函数、斜率的性质及其图像表示。
- [二次函数、根和判别式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-discriminant/) — 分析二次函数，并使用判别式确定实根的数量。
- [反比例函数和有理函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-reciprocal-and-rational-functions/) — 探究反比例函数和简单有理函数的性质，包括渐近线。
- [指数函数、对数函数及其图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions-and/) — 学习指数函数和对数函数的关键性质、图像，以及二者的反函数关系。

## 常见错误

- **错误做法:** 求反函数时忘记限制定义域
  - 原因: 大多数函数在整个定义域上不是一一对应的，因此反函数仅在限制后的定义域上有效
  - 正确做法: 计算反函数前，务必确认原函数是一一对应的，并限制定义域
- **错误做法:** 混淆水平变换和垂直变换的规则
  - 原因: 水平变换的方向和直觉相反，而垂直变换符合直觉
  - 正确做法: 记住 $f(x+a)$ 向左平移 $a$ 个单位，而 $f(x)+a$ 向上平移 $a$ 个单位
- **错误做法:** 交换 $f(g(x))$ 中复合的顺序
  - 原因: 函数复合不满足交换律，因此顺序改变会导致最终结果不同
  - 正确做法: 始终按正确顺序将内层函数 ($g$) 代入外层函数 ($f$)

## 速查表

| 概念 / 公式 | 关键说明 |
| --- | --- |
| $y=f(x)$ 函数符号 | 将输入 $x$ 对应到唯一的输出 $y$ |
| 复合函数: $(f\circ g)(x) = f(g(x))$ | $g$ 的输出成为 $f$ 的输入 |
| 反函数性质: $f^{-1}(f(x))=x$ | $f^{-1}(x)$ 的图像是 $f(x)$ 关于 $y=x$ 的反射 |
| 二次判别式: $\Delta = b^2-4ac$ | 确定实根数量: $\Delta>0$ (2个), $\Delta=0$ (1个), $\Delta<0$ (0个) |
| 变换: $af(x+b)+c$ | 水平平移 $-b$, 垂直拉伸 $a$, 垂直平移 $c$ |
| 指数对数反函数关系: $\log_a(a^x)=x$, $a^{\log_a x}=x$ | 对数是指数函数的反函数 |
| 有理函数渐近线 | 垂直渐近线出现在分母为0处，水平渐近线描述末端行为 |

## 下一步

从下方第一个子主题开始学习，构建你对函数的基础理解，本单元所有后续内容都依赖于此基础。完成函数单元的所有子主题后，你将进入下一单元三角学的第一个子主题学习。

- [函数概念、定义域、值域和符号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-function-concepts-domain-range-and/)
- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-composite-and-inverse-functions/)
- [函数图像变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-transformations-of-graphs-of-functions/)

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