# 一次函数及其图像

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/

本模块讲解一次函数的核心性质、代数形式、关键图像特征，以及平行线和垂线之间的关系。你将学习如何求直线方程、绘制图像，并解决常见的考试问题。

**先修:** 基础坐标几何; 一次方程的代数变形

## 学习目标

- 在一次函数的不同代数形式之间转换
- 根据已知信息计算直线的斜率和截距
- 求与已知直线平行和垂直的直线方程
- 用线性关系建模并解决实际问题

## 核心定义与标准形式

**一次函数** — 一阶多项式函数，图像为直线，自变量的最高次幂为1。

*记法:* $f(x) = mx + c$

*例:* $f(x) = 3x - 2$是一次函数；$f(x) = x^2 + 1$不是一次函数

一次函数可以写成三种常见的标准形式，每种形式适用于不同场景：

- **斜截式**: $y = mx + c$，已知斜率和y轴截距时使用
- **点斜式**: $y - y_1 = m(x - x_1)$，已知一个点和斜率时使用
- **一般式**: $ax + by + d = 0$，其中$a, b, d$为整数常数

**例题:** 将$3y - 6x = 9$化为斜截式

1. 在等式左侧分离出$y$项，给两边同时加上$6x$：
2. $$3y = 6x + 9$$
3. 将所有项除以$y$的系数（即3）：
4. $$y = 2x + 3$$
5. 这就是斜截式，斜率为$m=2$，y轴截距为$c=3$。

## 斜率、截距与图像绘制

直线的斜率衡量$x$每变化1单位时$y$的变化量，可通过直线上任意两点计算得到。

**斜率公式** — 对于直线上两点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，斜率等于垂直变化量与水平变化量的比值。

*记法:* $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

> **tip**
>
> 要绘制任意一次函数的图像，你只需要两个不同的点。最容易找到的点通常是x轴截距（$y=0$处）和y轴截距（$x=0$处）。

**例题:** 求过点$(2, 5)$和$(5, 11)$的直线的斜率，再求它的x轴截距。

1. 标记点并代入斜率公式：
2. $$m = \frac{11 - 5}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$
3. 使用点斜式得到完整直线方程：
4. $$y - 5 = 2(x - 2) \implies y = 2x + 1$$
5. 令$y=0$并求解$x$，得到x轴截距：
6. $$0 = 2x + 1 \implies x = -\frac{1}{2}$$
7. x轴截距为$\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$。

## 平行线与垂线

平行线和垂线的斜率之间有简单的规律，这是IB考试的常见考点。

**平行线/垂线的斜率规律** — 若两条直线的斜率分别为$m_1$和$m_2$：(1) 平行线：$m_1 = m_2$，(2) 垂线：$m_1 m_2 = -1$

*例:* 斜率为4的直线与斜率为$-\frac{1}{4}$的直线垂直

> **考试提示**
>
> 求出垂线斜率后，始终记得将两个斜率相乘验证结果是否等于-1。

**例题:** 求过点$(3, -2)$且与$y = 3x + 1$垂直的直线方程。

1. 原直线的斜率为$m_1 = 3$，因此垂线的斜率为：
2. $$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}$$
3. 将点$(3, -2)$代入点斜式：
4. $$y - (-2) = -\frac{1}{3}(x - 3)$$
5. 整理为斜截式：
6. $$y + 2 = -\frac{1}{3}x + 1 \implies y = -\frac{1}{3}x - 1$$

## 一次函数的实际应用

许多具有恒定变化率的实际关系都可以用一次函数建模。在这类问题中，斜率就是恒定变化率，截距是输入为零时的初始值。

**例题:** 一家咖啡店收取固定月订阅费，再加每杯咖啡2美元。如果一个月买15杯咖啡总花费是38美元，求买25杯咖啡的总花费。

1. 定义变量：设$C$为月总花费，$n$为咖啡杯数。线性模型为$C = mn + f$，其中$f$为固定费用，$m$为每杯咖啡的价格。
2. 已知$m = 2$，代入已知值求$f$：
3. $$38 = 2(15) + f \implies 38 = 30 + f \implies f = 8$$
4. 完整模型为$C = 2n + 8$，计算25杯咖啡的花费：
5. $$C = 2(25) + 8 = 50 + 8 = 58$$
6. 25杯咖啡的总花费是\$58。

## 常见错误

- **错误做法:** 将斜率计算为$\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$
  - 原因: 交换分子分母会得到正确斜率的倒数
  - 正确做法: 始终记住斜率是y的变化量除以x的变化量：$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$
- **错误做法:** 不整理就直接从一般式中读取斜率和截距
  - 原因: 一般式中x和y的系数不等于$m$和$c$
  - 正确做法: 读取斜率和截距前，始终先将一般式整理为$y = mx + c$
- **错误做法:** 认为垂线的斜率是$-m$而非$-\frac{1}{m}$
  - 原因: 把负号和取倒数的要求混淆了
  - 正确做法: 垂线斜率乘积为$-1$，因此始终取原斜率的负倒数
- **错误做法:** 认为竖直线$x=k$的斜率为0
  - 原因: 混淆了水平线和竖直线的性质
  - 正确做法: 水平线$y=k$的斜率为0；竖直线$x=k$的斜率不存在
- **错误做法:** 实际问题中混淆输入变量和输出变量
  - 原因: 交换变量会颠倒变化率，导致斜率错误
  - 正确做法: 解题开始时始终明确定义变量，避免该错误

## 速查表

| 性质 | 规律/公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 两点间斜率 | $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ | 上升量除以运行量 |
| 斜截式 | $y = mx + c$ | $m$ = 斜率，$c$ = y轴截距 |
| 点斜式 | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | 已知一点+斜率时使用 |
| 平行线 | $m_1 = m_2$ | 斜率相等 |
| 垂线 | $m_1 m_2 = -1$ | 负倒数斜率 |
| 水平线 | $y = k$, $m=0$ | 平行于x轴 |
| 竖直线 | $x = k$, $m$ 不存在 | 平行于y轴 |
| 一般式 | $ax + by + c = 0$ | 整理为$y=mx+c$后读取数值 |

## 下一步

一次函数是IB AA SL几乎所有后续主题的基础。一次函数恒定变化率的概念，直接为你学习非线性函数的瞬时变化率（微分微积分的核心思想）做好了准备。你还会应用一次函数求解线性方程组、在统计学中用线性回归对二元数据建模，求解涉及恒定速度或加速度的运动学问题。掌握直线图像及其性质，对于理解和处理你将遇到的所有其他函数类型（包括二次函数、指数函数和三角函数）至关重要。

- [二次函数、根与判别式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-discriminant/)
- [倒数函数与有理函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-reciprocal-and-rational-functions/)
- [指数函数与对数函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions-and/)

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