函数概念、定义域、值域与符号表示

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 2: Functions, Topic 1· 15 分钟阅读

1. 1. 函数的定义★☆☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

函数

$f$ , $f (x)$

输入集合（定义域）与输出集合（值域）之间的关系，其中每个输入恰好对应一个输出。任何对应多个输出的输入都不是函数。

例:

$f (x) = x + 3$ 将输入 $2$ 映射到输出 $5$ ，只有一个输出，因此它是函数。

判断一个图像是否表示函数最简单的方法是竖线测试。如果任意一条竖线与图像相交超过一次，那么该关系不是函数。

📐 例题

判断由 $x^{2} + y^{2} = 16$ 定义的圆是否是函数。

1
应用竖线测试，测试竖线 $x = 0$ ，它与图像相交于：
2
$(0, 4) \text{ and } (0, -4)$
3
一个输入 $x = 0$ 对应两个不同的输出 $y = 4$ 和 $y = - 4$ ，因此：
4
该关系不是函数。

2. 2. 函数符号★★☆☆☆⏱ 5 min

IB考试使用两种标准形式的函数符号，二者可以互换：

$f (x) = expression$ ：最常用的形式，适用于所有一般场景
$f : x \mapsto expression$ ：映射符号，用于明确定义输入如何映射到输出。

📐 例题

已知 $f : x \mapsto 3 x^{2} - 2 x - 8$ ，求 $f (- 1)$ 以及所有满足 $f (x) = 0$ 的 $x$ 。

1
计算 $f (- 1)$ ，代入 $x = - 1$ ：
2
$f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 8 = 3 + 2 - 8 = -3$
3
令 $f (x) = 0$ ，对二次式因式分解：
4
$3x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (3x + 4)(x - 2) = 0$
5
求解 $x$ 得到解：
6
$x = -\frac{4}{3} \text{ or } x = 2$

3. 3. 求定义域★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

定义域

使得函数有定义的所有实数输入 $x$ 的集合。除非题目给出受限定义域，否则我们求自然定义域（所有有效输入）。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{1}{x - 3} + x + 1$ 的定义域。

1
首先，应用分母限制：
2
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
3
接下来，应用平方根限制：
4
$x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$
5
结合两个限制得到定义域，用区间符号表示为：
6
$[-1, 3) \cup (3, \infty)$

4. 4. 求值域★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

值域

当定义域内所有输入都被使用时，函数所能产生的所有可能输出 $y$ 值的集合。

求值域的常用方法：1) 绘制函数图像，找出图像覆盖的所有 $y$ 值，2) 对于二次函数，使用顶点式找到最小或最大输出，3) 重排函数求解 $x$ ，然后求逆关系的定义域。

📐 例题

求二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ 的值域。

1
通过配方法将二次式改写为顶点式：
2
$f(x) = (x^2 + 2x) - 3 = (x + 1)^2 - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4$
3
对于实数 $x$ ，平方项始终非负：
4
$(x + 1)^2 \geq 0$
5
结合常数项得到最小输出：
6
$(x + 1)^2 - 4 \geq -4$
7
值域是所有大于等于-4的实数：
8
$[-4, \infty)$

5. 常见陷阱

错误做法:

求定义域时忘记排除使分母为零的值

原因:

许多学生只检查平方根限制，漏掉了分母限制，导致定义域错误

正确做法:

计算定义域时始终同时检查分母（不等于零）和偶次根号（表达式非负）

错误做法:

混淆定义域（x值）和值域（y值）

原因:

混淆输入和输出会导致考试题目答错

正确做法:

在计算过程中标记定义域是输入（x）、值域是输出（y），避免混淆

错误做法:

无论首项系数如何，都假设所有二次函数的值域都是 $[k, \infty)$

原因:

学生记住了首项系数为正的结论，但忘记首项系数为负时抛物线开口向下

正确做法:

对于二次函数 $a (x - h)^{2} + k$ ，若 $a > 0$ 则值域为 $[k, \infty)$ ，若 $a < 0$ 则值域为 $(- \infty, k]$

错误做法:

认为所有x和y之间的关系都是函数

原因:

新手常假设任意图像或关系都是函数，导致识别题答错

正确做法:

继续解题前始终用竖线测试确认关系是函数

6. 速查表

概念	核心定义	检查要点
函数	每个输入恰好对应一个输出	通过竖线测试
定义域	所有有效输入（x值）的集合	检查分母≠ 0，√(表达式)≥ 0
值域	所有可能输出（y值）的集合	从图像读取，二次函数用顶点式
f(a)	将x = a代入函数，得到输出	代入正确，注意负号
f(x) = a	令函数等于a，求解输入x	验证解是否在定义域内

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求一个有理函数的定义域
2024 · 1
从一组关系中识别出函数
2023 · 1
求一个二次函数的值域

下一步

这个基础子主题是IB AA SL所有其他函数主题的基础。你将使用对定义域、值域和函数符号的理解来学习更高级的函数概念，包括复合函数和反函数，并分析二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等特定函数类型。这些技能也是解方程、建立真实场景模型、绘制函数图像所必需的，这些内容会出现在IB AA SL考试的试卷1和试卷2中。