# 复合函数与反函数

> IB 数学分析与方法 SL · 单元 2：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-composite-and-inverse-functions/

本小节讲解如何通过复合组合函数，求解一对一函数的反函数，包含定义域规则和图像性质。这些都是IB AA SL考试中几乎所有函数题的核心技能。

**先修:** [函数符号、定义域与值域基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-introduction-to-functions/)

## 学习目标

- 计算复合函数的代数形式并写出其定义域
- 判断函数是否为一对一函数，并通过限制定义域构造可逆函数
- 用代数方法求解一对一函数的反函数
- 描述原函数与其反函数的图像关系

## 复合函数

**复合函数** — 将$g(x)$的输出作为$f(x)$输入的函数。复合顺序很重要，因此大多数情况下 $f \circ g \neq g \circ f$。

*记法:* f \circ g(x) = f(g(x))

*例:* 若 $f(x) = x+2$ 且 $g(x) = x^2$，则 $f(g(x)) = x^2 + 2$，而 $g(f(x)) = (x+2)^2$

求复合函数的定义域时，定义域受内函数$g(x)$本身的限制，以及外函数$f(x)$对$g(x)$输出的限制共同约束。

**例题:** 已知 $f(x) = \sqrt{x+3}$ 的定义域为 $x \geq -3$，$g(x) = 2x - 4$，求 $f \circ g(x)$ 并写出其定义域。

1. 将$g(x)$代入$f$的输入，得到代数形式：
2. $$f(g(x)) = f(2x - 4) = \sqrt{(2x - 4) + 3} = \sqrt{2x - 1}$$
3. 求定义域：$g(x)$是线性函数，没有定义域限制。根号内的表达式必须非负：
4. $$2x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$$
5. 最终结果：$f \circ g(x) = \sqrt{2x - 1}$，定义域为 $x \geq \frac{1}{2}$

> **考试提示:** 一定要检查复合函数的定义域限制：即使题目只要求求函数表达式，定义域几乎总是占1分。

## 反函数与一对一条件

**一对一函数** — 每个输出对应唯一输入的函数。从图像上看，满足水平线测试的函数是一对一函数。只有一对一函数存在反函数。

*例:* $f(x) = 3x + 1$ 是一对一函数；$f(x) = x^2$ 在全体实数上不是一对一函数

如果函数在其自然定义域上不是一对一的，你可以限制定义域来得到一个存在反函数的一对一函数。原函数的值域就是反函数的定义域。

**例题:** 已知 $f(x) = x^2 - 6x$，$x \geq 3$，求 $f^{-1}(x)$ 并写出其定义域。

1. 首先写出 $y = f(x)$，然后交换 $x$ 和 $y$，准备求反函数：
2. $$x = y^2 - 6y$$
3. 配方求解y：
4. $$x = (y - 3)^2 - 9 \implies (y - 3)^2 = x + 9 \implies y - 3 = \pm \sqrt{x + 9}$$
5. 原定义域是 $x \geq 3$，因此 $f(x)$ 的值域为 $y \geq (3)^2 - 6(3) = -9$。这说明 $f^{-1}$ 的定义域是 $x \geq -9$，且反函数中要求 $y \geq 3$，因此我们取正根：
6. $$y = 3 + \sqrt{x + 9}$$
7. 最终结果：$f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x + 9}$，定义域为 $x \geq -9$

> **考试提示:** 求二次函数反函数开平方后选择正确的符号是常见的给分点，一定要根据原定义域证明你的选择。

## f与f⁻¹的图像关系

因为求反函数会交换原函数上每个点的x和y值，因此 $f^{-1}(x)$ 的图像是 $f(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 的对称图形。

> **info**
>
> $f(x)$ 和 $f^{-1}(x)$ 的所有交点都一定在直线 $y = x$ 上，除非$f(x)$本身就关于$y=x$对称。

**例题:** $f(x) = 2^{x+1}$ 的图像经过点$(0,2)$，定义域为全体实数，水平渐近线为$y=0$。画出$f^{-1}(x)$的关键特征。

1. 将所有关键特征关于$y=x$对称：f上的点$(0,2)$变为$f^{-1}$上的点$(2,0)$。
2. f的水平渐近线$y=0$变为$f^{-1}$的垂直渐近线$x=0$（y轴）。
3. f的定义域变为$f^{-1}$的值域，f的值域（$y>0$）变为$f^{-1}$的定义域（$x>0$）。
4. 因为f是增函数，所以$f^{-1}$也是增函数。

> **考试提示:** 如果题目要求根据$f$的给定图像绘制反函数，关于$y=x$对称反射比代数计算反函数快得多。

## 常见错误

- **错误做法:** 颠倒复合顺序，将$f \circ g$错误计算为$g(f(x))$而不是$f(g(x))$。
  - 原因: 记号从左往右读，导致很多学生混淆哪个函数先作用。
  - 正确做法: 记住离$x$最近的是内函数：$f \circ g(x) = f(g(x))$，从内向外计算。
- **错误做法:** 将反函数记号与倒数混淆：错误认为 $f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}$。
  - 原因: -1次幂看起来和倒数的指数一样，导致了这个常见错误。
  - 正确做法: 记住$f^{-1}$是抵消f作用的反函数，而$(f(x))^{-1}$才是$f(x)$的倒数。
- **错误做法:** 忘记写出复合函数或反函数的定义域。
  - 原因: 学生通常只专注于求代数表达式，忽略了单独给分的定义域要求。
  - 正确做法: 即使题目没有明确要求，也要在最终答案中加上定义域。
- **错误做法:** 在没有限制定义域的情况下，声称非一对一函数存在反函数。
  - 原因: 很多学生忘记只有一对一函数才存在反函数。
  - 正确做法: 求反函数前，先检查函数是否通过水平线测试，必要时限制定义域。

## 速查表

| 概念 | 核心规则 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 复合 $f \circ g$ | $f(g(x))$，先算内函数 | 顺序很重要，一定要写出定义域 |
| 复合函数定义域 | 内函数限制 + 外函数限制 | 几乎每次都占1分 |
| 反函数存在条件 | 函数是一对一的（通过水平线测试） | 必要时限制定义域 |
| 代数法求反函数 | 交换$x$和$y$，求解$y$ | 二次函数要选择正确符号 |
| 反函数图像 | f关于$y=x$的对称图形 | $(a,b) \to (b,a)$ 对应到反函数上 |

## 下一步

复合函数和反函数是IB AA SL中几乎所有后续函数主题的基础。最直接的应用是指数函数和对数函数，它们互为反函数，因此你在这里学到的技能会帮助你后续求解指数和对数方程。你在统计学单元学习累积分布函数时也会用到反函数，限制定义域的技能对于求解经常出现在试卷1和试卷2中的各类函数方程至关重要。

- [函数图像变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-transformations-of-graphs-of-functions/)
- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/)
- [二次函数、根与判别式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-discriminant/)

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