# 数与代数

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-overview/
> 占比: 占考试总分的 15-18%

本基础单元涵盖了IB AA SL所有其他单元都会用到的核心数与代数概念，范围从测量、对数到组合数学。

**先修:** 基础中学算术与代数运算

## 学习目标

- 将近似计算、误差估计和科学记数法应用于实际测量问题
- 使用等差和等比数列及级数对离散规律和增长/衰减建模
- 整理化简指数和对数表达式，求解相关代数方程
- 计算排列、组合，展开二项式，用于组合数学和概率应用

## 单元概览

本单元从实用数字技能逐步进阶到高级代数运算和组合数学，为你后续课程中学习函数、微积分和统计学构建所需的基础工具。我们从测量与误差处理开始，接着学习离散数列规律，然后探索指数与对数关系，最后学习概率和二项式所需的组合计数。

本单元分为以下8个子主题：
- [近似计算、有效数字与科学记数法](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-approximation-significant-figures-and-scientific/) — 学习正确修约，用科学记数法书写数值，在计算中识别有效数字。
- [误差界限与绝对/相对误差](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-error-bounds-and-absolute-relative/) — 计算误差的上下限，求解测量值的绝对误差与相对误差。
- [等差数列与级数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/) — 推导并应用有限等差级数的通项公式与求和公式。
- [等比数列与无穷等比级数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-geometric-sequences-and-infinite-geometric/) — 处理等比数列相关问题，求解有限和收敛无穷等比级数的和。
- [指数法则与对数法则](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-laws-of-exponents-and-logarithms/) — 利用指数法则和对数核心法则化简表达式。
- [求解指数与对数方程](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-solving-exponential-and-logarithmic-equations/) — 使用代数方法和图形计算器（GDC）求解指数和对数方程。
- [排列与组合](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-permutations-and-combinations/) — 区分排列与组合，对元素的排列方式进行计数。
- [二项式展开与二项式定理](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u1-binomial-expansion-and-binomial-theorem/) — 应用二项式定理展开二项式，并找到展开式中的特定项。

## 常见错误

- **错误做法:** 计数排列时混淆排列与组合
  - 原因: 排列对有序排列计数，而组合对无序分组计数
  - 正确做法: 选择正确计数公式前，先判断顺序是否影响结果
- **错误做法:** 忘记无穷等比级数的收敛条件
  - 原因: 只有当公比满足 $|r| < 1$ 时，无穷和才存在
  - 正确做法: 计算无穷等比级数的和前，先检查$|r|$的值
- **错误做法:** 多步骤计算中过早对中间结果修约
  - 原因: 过早修约会导致累积误差，使最终答案偏离正确值
  - 正确做法: 最终步骤前始终在计算器中保留全部精度，最后再按要求的有效数字修约

## 速查表

| 概念 | 核心公式/表达式 |
| --- | --- |
| 等差数列通项 | $u_n = u_1 + (n-1)d$ |
| 有限等差级数求和 | $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$ |
| 等比数列通项 | $u_n = u_1 r^{n-1}$ |
| 收敛无穷等比级数求和 | $S_\infty = \frac{u_1}{1-r}, \quad \|r\|<1$ |
| 对数乘积法则 | $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ |
| 对数幂法则 | $\log_b(x^n) = n \log_b x$ |
| n个元素中取k个的排列数 | $^n P_k = \frac{n!}{(n-k)!}$ |
| 二项式系数 | $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ |

## 下一步

从本单元第一个子主题「近似计算、有效数字与科学记数法」开始学习，构建你未来所有计算都会用到的核心数字技能。完成本单元全部8个子主题后，你就可以进入下一个单元函数的学习，该单元直接建立在你在此学到的代数技能之上。

- [近似计算、有效数字与科学记数法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-approximation-significant-figures-and-scientific/)
- [等差数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/)

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