等比数列与无穷等比级数

IB 数学 AA SL· 5 分钟阅读

1. 等比数列：定义与通项公式★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

等比数列

u_n = r \cdot u_{n-1}

从第一项之后，每一项都是前一项乘以一个称为公比 $r$ 的常数得到的数列。

例:

2, 6, 18, 54,... 的公比为 $r = 3$

通过不断乘以公比，我们可以逐步得到首项为 $u_{1}$ 的任意等比数列的通项公式：

u_n = u_1 r^{n-1}

📐 例题

一个等比数列的第3项为12，第5项为48。求公比 $r$ 的所有可能值。

1
写出第3项和第5项的通项公式：
2
$u_3 = u_1 r^2 = 12 \\ u_5 = u_1 r^4 = 48$
3
用第5项除以第3项消去 $u_{1}$ ：
4
$\frac{u_1 r^4}{u_1 r^2} = \frac{48}{12} \implies r^2 = 4$
5
求解 $r$ 。除非题目明确排除，否则正负解都是有效的：
6
$r = 2 \quad \text{or} \quad r = -2$

2. 有限等比级数的和★★☆☆☆⏱ 20 min

等比数列前 $n$ 项和 $S_{n}$ 可以写成闭式，无需逐个相加所有项。根据 $r$ 是否等于1，使用两种不同的公式。

📘 定义

有限等比级数的和

等比数列前 $n$ 项的总和，可通过以下公式计算：

例:

Sum of first 4 terms of 2, 6, 18,... is 2+6+18+54 = 80

\text{If } r \neq 1: \quad S_n = \frac{u_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{u_1(r^n - 1)}{r - 1} \\ \text{If } r = 1: \quad S_n = n u_1

📐 例题

求数列3, 6, 12, 24, ... 的前10项和。

1
确定 $u_{1}$ 、 $r$ 和 $n$ 的值：
2
$u_1 = 3, \quad r = \frac{6}{3} = 2, \quad n = 10$
3
代入 $r > 1$ 对应的求和公式：
4
$S_{10} = \frac{3(2^{10} - 1)}{2 - 1}$
5
计算结果：
6
$S_{10} = 3(1024 - 1) = 3 \times 1023 = 3069$

3. 无穷等比级数与收敛性★★★☆☆⏱ 20 min

无穷等比级数是无穷等比数列所有项的和。只有收敛的无穷级数才有有限和；发散级数的和会无界增长或无限振荡。

📘 定义

收敛条件

无穷等比级数收敛（即存在有限和）当且仅当公比的绝对值小于1。

例:

$r = 1/2$ 收敛， $r = 2$ 发散， $r = - 1/2$ 收敛

\text{Converges if } |r| < 1 \\ \text{If convergent, sum to infinity:} \quad S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}

📐 例题

无穷级数 $9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + ...$ 是否收敛？若收敛，求它的和。

1
计算公比：
2
$r = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
3
验证收敛条件：
4
$|r| = \frac{1}{3} < 1 \implies \text{The series converges}$
5
代入无穷和公式：
6
$S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{27}{2} = 13.5$

4. 实际问题应用★★★☆☆⏱ 20 min

等比数列被广泛用于建模重复百分比变化、复利增长、折旧和定期投资。关键是识别出每个周期的恒定乘法因子，这个因子就是公比。

📐 例题

一名学生将1000美元存入支付5%年复利的储蓄账户，利息每年再投资。不提取的情况下，5年后账户中有多少钱？

1
每年增长5%意味着总金额每年乘以1.05，因此这是一个等比数列，参数为：
2
$u_0 = 1000 \quad (\text{initial investment}), \quad r = 1.05$
3
5年后的金额是数列的第5项：
4
$u_5 = u_0 r^5$
5
计算最终金额：
6
$u_5 = 1000 \times (1.05)^5 \approx 1000 \times 1.2763 = \$1276.28$

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记 $r$ 可以为负数，只给出正解。

原因:

大多数通过二次方程求解 $r$ 的题目都有两个有效解，除非题目明确说明所有项都是正数。

正确做法:

始终检查 $r$ 的正负值是否都满足题目条件，若有效则都保留。

错误做法:

在 $∣ r ∣ \geq 1$ 时使用无穷和公式。

原因:

学生经常只记住 $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$ ，而不管收敛条件就直接使用。

正确做法:

始终先检查 $∣ r ∣ < 1$ ，若条件不满足则明确说明无穷和不存在。

错误做法:

在通项公式中使用 $r^{n}$ 而非正确的 $r^{n - 1}$ 。

原因:

项数计数错误导致偏移1的错误。

正确做法:

用 $n = 1$ 验证公式： $u_{1} = u_{1} r^{1 - 1} = u_{1} r^{0} = u_{1}$ ，由此确认指数为 $n - 1$ 。

错误做法:

混淆有限和与无穷和公式，写成 $S_{\infty} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ 。

原因:

当 $∣ r ∣ < 1$ 时， $n$ 趋于无穷时 $r^{n}$ 趋于0，因此指数项会消失。

正确做法:

记住无穷和公式简化为 $\frac{u _{1}}{1 - r}$ ，不包含 $n$ 或 $r^{n}$ 项。

6. 速查表

概念	公式	关键条件
等比数列通项	$u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$	$r$ = 公比
有限 $n$ 项和（ $r \neq = 1$ ）	$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$	任意 $r \neq = 1$
有限 $n$ 项和（ $r = 1$ ）	$S_{n} = n u_{1}$	仅当 $r = 1$ 时成立
无穷级数收敛		$∣ r ∣ < 1$
（收敛级数的）无穷和	$S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$	仅当 $∣ r ∣ < 1$ 时成立

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syllabusIB AA SL 数学大纲（2021版）官方考核目标参考

下一步

等比数列与级数是金融数学的核心基础，在金融数学中用于建模复利增长、折旧和年金。等比级数的收敛性还引入了无穷级数极限的关键概念，这是微积分和级数展开等后续知识点的基础。本主题在IB AA SL中经常作为独立题目考查，常与等差数列问题混合，测试你区分两种数列的能力。掌握这里的收敛条件和不同公式，会让你在考试中解决应用题轻松很多。