# 等比数列与无穷等比级数

> IB 数学 AA SL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-geometric-sequences-and-infinite-geometric/

本子主题涵盖：识别等比数列、计算其通项、求有限和无穷等比级数的和，以及判断收敛性。这些知识点经常在IB AA SL的试卷1和试卷2中考查。

**先修:** [等差数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/); [指数运算法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-exponents-and-logarithms/)

## 学习目标

- 识别等比数列，并计算任意给定项数的第n项
- 计算有限等比数列前n项的和
- 判断无穷等比级数是否收敛，若收敛则计算其和
- 将等比数列应用于复利等实际问题

## 等比数列：定义与通项公式

**等比数列** — 从第一项之后，每一项都是前一项乘以一个称为公比$r$的常数得到的数列。

*记法:* u_n = r \cdot u_{n-1}

*例:* 2, 6, 18, 54,... 的公比为$r=3$

通过不断乘以公比，我们可以逐步得到首项为$u_1$的任意等比数列的通项公式：

$$u_n = u_1 r^{n-1}$$

**例题:** 一个等比数列的第3项为12，第5项为48。求公比$r$的所有可能值。

1. 写出第3项和第5项的通项公式：
2. $$u_3 = u_1 r^2 = 12 \\ u_5 = u_1 r^4 = 48$$
3. 用第5项除以第3项消去$u_1$：
4. $$\frac{u_1 r^4}{u_1 r^2} = \frac{48}{12} \implies r^2 = 4$$
5. 求解$r$。除非题目明确排除，否则正负解都是有效的：
6. $$r = 2 \quad \text{or} \quad r = -2$$

## 有限等比级数的和

等比数列前$n$项和$S_n$可以写成闭式，无需逐个相加所有项。根据$r$是否等于1，使用两种不同的公式。

**有限等比级数的和** — 等比数列前$n$项的总和，可通过以下公式计算：

*例:* Sum of first 4 terms of 2, 6, 18,... is 2+6+18+54 = 80

$$\text{If } r \neq 1: \quad S_n = \frac{u_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{u_1(r^n - 1)}{r - 1} \\ \text{If } r = 1: \quad S_n = n u_1$$

> **tip**
>
> 当$|r| < 1$时使用第一种形式$(1-r^n)/(1-r)$，可以避免计算中出现负数。

**例题:** 求数列3, 6, 12, 24, ... 的前10项和。

1. 确定$u_1$、$r$和$n$的值：
2. $$u_1 = 3, \quad r = \frac{6}{3} = 2, \quad n = 10$$
3. 代入$r > 1$对应的求和公式：
4. $$S_{10} = \frac{3(2^{10} - 1)}{2 - 1}$$
5. 计算结果：
6. $$S_{10} = 3(1024 - 1) = 3 \times 1023 = 3069$$

## 无穷等比级数与收敛性

无穷等比级数是无穷等比数列所有项的和。只有收敛的无穷级数才有有限和；发散级数的和会无界增长或无限振荡。

**收敛条件** — 无穷等比级数收敛（即存在有限和）当且仅当公比的绝对值小于1。

*例:* $r = 1/2$ 收敛，$r = 2$ 发散，$r = -1/2$ 收敛

$$\text{Converges if } |r| < 1 \\ \text{If convergent, sum to infinity:} \quad S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}$$

> **info**
>
> 收敛性取决于$r$的大小，而非符号。只要$|r| < 1$，负的$r$仍然会收敛。

**例题:** 无穷级数 $9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + ...$ 是否收敛？若收敛，求它的和。

1. 计算公比：
2. $$r = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
3. 验证收敛条件：
4. $$|r| = \frac{1}{3} < 1 \implies \text{The series converges}$$
5. 代入无穷和公式：
6. $$S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{27}{2} = 13.5$$

## 实际问题应用

等比数列被广泛用于建模重复百分比变化、复利增长、折旧和定期投资。关键是识别出每个周期的恒定乘法因子，这个因子就是公比。

**例题:** 一名学生将1000美元存入支付5%年复利的储蓄账户，利息每年再投资。不提取的情况下，5年后账户中有多少钱？

1. 每年增长5%意味着总金额每年乘以1.05，因此这是一个等比数列，参数为：
2. $$u_0 = 1000 \quad (\text{initial investment}), \quad r = 1.05$$
3. 5年后的金额是数列的第5项：
4. $$u_5 = u_0 r^5$$
5. 计算最终金额：
6. $$u_5 = 1000 \times (1.05)^5 \approx 1000 \times 1.2763 = \$1276.28$$

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记$r$可以为负数，只给出正解。
  - 原因: 大多数通过二次方程求解$r$的题目都有两个有效解，除非题目明确说明所有项都是正数。
  - 正确做法: 始终检查$r$的正负值是否都满足题目条件，若有效则都保留。
- **错误做法:** 在$|r| \geq 1$时使用无穷和公式。
  - 原因: 学生经常只记住$S_\infty = \frac{u_1}{1-r}$，而不管收敛条件就直接使用。
  - 正确做法: 始终先检查$|r| < 1$，若条件不满足则明确说明无穷和不存在。
- **错误做法:** 在通项公式中使用$r^n$而非正确的$r^{n-1}$。
  - 原因: 项数计数错误导致偏移1的错误。
  - 正确做法: 用$n=1$验证公式：$u_1 = u_1 r^{1-1} = u_1 r^0 = u_1$，由此确认指数为$n-1$。
- **错误做法:** 混淆有限和与无穷和公式，写成$S_\infty = \frac{u_1(1-r^n)}{1-r}$。
  - 原因: 当$|r| < 1$时，$n$趋于无穷时$r^n$趋于0，因此指数项会消失。
  - 正确做法: 记住无穷和公式简化为$\frac{u_1}{1-r}$，不包含$n$或$r^n$项。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 关键条件 |
| --- | --- | --- |
| 等比数列通项 | $u_n = u_1 r^{n-1}$ | $r$ = 公比 |
| 有限$n$项和（$r \neq 1$） | $S_n = \frac{u_1(1-r^n)}{1-r}$ | 任意$r \neq 1$ |
| 有限$n$项和（$r = 1$） | $S_n = n u_1$ | 仅当$r=1$时成立 |
| 无穷级数收敛 | - | $\|r\| < 1$ |
| （收敛级数的）无穷和 | $S_\infty = \frac{u_1}{1-r}$ | 仅当$\|r\| < 1$时成立 |

## 下一步

等比数列与级数是金融数学的核心基础，在金融数学中用于建模复利增长、折旧和年金。等比级数的收敛性还引入了无穷级数极限的关键概念，这是微积分和级数展开等后续知识点的基础。本主题在IB AA SL中经常作为独立题目考查，常与等差数列问题混合，测试你区分两种数列的能力。掌握这里的收敛条件和不同公式，会让你在考试中解决应用题轻松很多。

- [等差数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/)
- [指数与对数法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-laws-of-exponents-and-logarithms/)
- [求解指数方程与对数方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-solving-exponential-and-logarithmic-equations/)

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