金融数学：复利与折旧

IB 数学：分析与方法 SL· 数与代数，SL 1.4 等比数列与级数的金融应用· 12 分钟阅读

1. 复利基础★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

复利与单利不同，单利仅基于初始本金产生收益。对于短于1年的复利周期（月度、季度、周度），你必须调整利率和总周期数以匹配复利频率。

📘 定义

离散复利

$A = P (1 + \frac{r}{100 k})^{k n}$

其中 $k$ 为每年复利周期数， $r$ 为年名义百分比利率， $n$ 为投资总年数。

🔬 推导

目标:

推导复利公式

起点:

经过1个复利周期后，价值为 $P \times (1 + \frac{r}{100 k})$

1
经过2个周期后，价值 = $P \times (1 + \frac{r}{100 k})^{2}$
2
经过 $k$ 个周期（完整1年）后，价值 = $P \times (1 + \frac{r}{100 k})^{k}$
3
n年中经过 $k n$ 个总周期后，最终值即为标准复利公式

结果:

该公式直接收录于IB AA SL公式手册（主题1.4）

📐 例题

你以4.2%的年名义利率按月复利投资2500美元，计算6年后的最终价值。

1
识别所有给定值： $P = 2500$ , $r = 4.2$ , $k = 12$ , $n = 6$
2
$A = 2500 \times \left(1 + \frac{4.2}{100 \times 12}\right)^{12 \times 6}$
3
化简括号内的项和指数，然后计算最终值得到3215.08美元

✓ 快速检测

一笔按季度复利的3年期投资，总复利周期数是多少？
显示答案
12 —
每年4个周期乘以3年，总周期数为12

2. 余额递减折旧★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

折旧描述实物资产（如汽车、电子设备、机械设备）随时间发生的价值损失。余额递减折旧是复利增长对应的指数衰减形式，使用衰减因子而非增长因子。

📘 定义

余额递减折旧

$V_{n} = V_{0} (1 - \frac{r}{100})^{n}$

其中 $V_{0}$ 为初始购买价值， $r$ 为年百分比折旧率， $n$ 为持有资产的完整年数。

📐 例题

一辆以32000美元购入的汽车年折旧率为15%，求其满5年后的价值。

1
识别数值： $V_{0} = 32000$ , $r = 15$ , $n = 5$
2
$V_5 = 32000 \times (1 - 0.15)^5 = 32000 \times 0.85^5$
3
计算得到最终折旧后价值为14199美元（四舍五入到最近美元）

3. 求解利率或年数★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

考试题通常给出初始值和终值，要求计算利率或年数。由于未知量位于指数（时间）或底数（利率）中，你需要重排同一公式：开方求解利率，取对数求解时间。

📐 例题

6000美元的投资按年复利计息，5年后增长到9000美元，求年利率 $r$ 。

1
代入 $k = 1$ 建立方程： $9000 = 6000 (1 + \frac{r}{100})^{5}$
2
$\left(1 + \frac{r}{100}\right)^5 = \frac{9000}{6000} = 1.5$
3
对两边开5次方，然后求解 $r$
$1 + \frac{r}{100} = 1.5^{1/5} = 1.0845 \implies r \approx 8.45\%$

📐 例题

5000美元的投资年复利利率为6%，求其价值首次超过8000美元所需的最小整数年数。

1
建立不等式： $5000 (1.06)^{n} > 8000$ ，因此 $(1.06)^{n} > 1.6$
2
$n > \frac{\ln 1.6}{\ln 1.06} \approx 8.07$
3
由于 $n$ 必须为整数年，最小值为 $n = 9$ 年

✓ 快速检测

当未知量位于指数中时，求解年数需要使用什么工具？
显示答案
对数 —
对两边取对数，将指数降下来即可求解n。

4. 常见陷阱

错误做法:

按月复利时直接使用年利率而不除以12

原因:

忽略了利率必须与复利周期的长度匹配

正确做法:

代入前务必将名义年利率除以每年的复利周期数

错误做法:

计算折旧时将折旧率加1而非减1

原因:

混淆了指数增长（复利）和指数衰减（折旧）

正确做法:

对于余额递减折旧，使用因子 $(1 - r /100)$ 而非 $(1 + r /100)$

错误做法:

按月复利时直接使用年数作为总周期数

原因:

未将时间单位转换为与复利频率匹配的单位

正确做法:

将年数乘以每年的周期数，得到总周期数 $k n$

错误做法:

当目标值尚未达到时，将「需要多少年」的答案向下取整

原因:

如果 $n > 8.07$ ，那么满8年时价值仍低于目标，只有满9年才能达到

正确做法:

对于「首次超过」类问题，将求解得到的值向上取整到下一个整数年

5. 速查表

场景	公式	IB公式手册
复利	$A = P (1 + \frac{r}{100 k})^{k n}$	手册中已给出（主题1.4）
余额递减折旧	$V_{n} = V_{0} (1 - \frac{r}{100})^{n}$	不在手册中——使用 $(1 - r /100)^{n}$
求解利率 $r$	$1 + \frac{r}{100 k} = (\frac{A}{P})^{1/ (k n)}$	重排形式（开方）
求解年数 $n$	$n = \frac{ln ( A / P )}{k ln ( 1 + \frac{r}{100 k} )}$	重排形式（取对数）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 2
3分月度复利计算题
2023 · Paper 2
4分多问折旧题

下一步

现在你已经掌握了IB AA SL的两类金融模型——复利和余额递减折旧，并且可以重排公式求解未知利率或年数，你可以将它们回溯到其来源的等比数列与级数。复利增长和衰减本质上是伪装成等比数列的形式，因此同样的逻辑也适用于Paper 1和Paper 2中的人口、放射性衰变等其他指数模型问题。练习仅通过题干描述判断场景属于增长还是衰减，再选择对应的因子 $(1 + r /100)$ 或 $(1 - r /100)$ 。