# 金融数学：复利与折旧

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-financial-mathematics-compound-interest-annuities/

我们覆盖IB AA SL 1.4中的两类金融模型——复利与余额递减折旧，包括不同复利周期，以及如何重排各公式求解未知利率或年数。

**先修:** [指数函数与百分比变化](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-exponential-functions-intro/); [等比数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-geometric-sequences-series/)

## 学习目标

- 推导并应用不同离散复利周期（年度、半年度、季度、月度）下的复利公式
- 计算有形资产的年度余额递减折旧
- 重排复利和折旧公式，求解利率或年数
- 在IB AA SL结构化考试题中选择并应用正确的增长或衰减公式

## 复利基础

复利与单利不同，单利仅基于初始本金产生收益。对于短于1年的复利周期（月度、季度、周度），你必须调整利率和总周期数以匹配复利频率。

**离散复利** — 其中$k$为每年复利周期数，$r$为年名义百分比利率，$n$为投资总年数。

*记法:* $A = P\left(1 + \frac{r}{100k}\right)^{kn}$

**推导:** 推导复利公式

*起点:* 经过1个复利周期后，价值为$P \times \left(1 + \frac{r}{100k}\right)$

1. 经过2个周期后，价值 = $P \times \left(1 + \frac{r}{100k}\right)^2$
2. 经过$k$个周期（完整1年）后，价值 = $P \times \left(1 + \frac{r}{100k}\right)^k$
3. n年中经过$kn$个总周期后，最终值即为标准复利公式

*结论:* 该公式直接收录于IB AA SL公式手册（主题1.4）

**例题:** 你以4.2%的年名义利率按月复利投资2500美元，计算6年后的最终价值。

1. 识别所有给定值：$P = 2500$, $r = 4.2$, $k = 12$, $n = 6$
2. $$A = 2500 \times \left(1 + \frac{4.2}{100 \times 12}\right)^{12 \times 6}$$
3. 化简括号内的项和指数，然后计算最终值得到3215.08美元

**概念自测**

1. 一笔按季度复利的3年期投资，总复利周期数是多少？

   *解析:* 每年4个周期乘以3年，总周期数为12

*计算器:* allowed

## 余额递减折旧

折旧描述实物资产（如汽车、电子设备、机械设备）随时间发生的价值损失。余额递减折旧是复利增长对应的指数衰减形式，使用衰减因子而非增长因子。

**余额递减折旧** — 其中$V_0$为初始购买价值，$r$为年百分比折旧率，$n$为持有资产的完整年数。

*记法:* $V_n = V_0\left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$

> **不在公式手册中**
>
> 该折旧公式未印在IB公式手册中，但它只是将复利的增长因子$(1 - r/100)$替换为衰减因子$(1 + r/100)$，因此很容易自行推导。

**例题:** 一辆以32000美元购入的汽车年折旧率为15%，求其满5年后的价值。

1. 识别数值：$V_0 = 32000$, $r = 15$, $n =5$
2. $$V_5 = 32000 \times (1 - 0.15)^5 = 32000 \times 0.85^5$$
3. 计算得到最终折旧后价值为14199美元（四舍五入到最近美元）

*计算器:* allowed

## 求解利率或年数

考试题通常给出初始值和终值，要求计算利率或年数。由于未知量位于指数（时间）或底数（利率）中，你需要重排同一公式：开方求解利率，取对数求解时间。

**例题:** 6000美元的投资按年复利计息，5年后增长到9000美元，求年利率$r$。

1. 代入$k=1$建立方程：$9000 = 6000\left(1 + \frac{r}{100}\right)^5$
2. $$\left(1 + \frac{r}{100}\right)^5 = \frac{9000}{6000} = 1.5$$
3. 对两边开5次方，然后求解$r$

   $$1 + \frac{r}{100} = 1.5^{1/5} = 1.0845 \implies r \approx 8.45\%$$

**例题:** 5000美元的投资年复利利率为6%，求其价值首次超过8000美元所需的最小整数年数。

1. 建立不等式：$5000(1.06)^n > 8000$，因此$(1.06)^n > 1.6$
2. $$n > \frac{\ln 1.6}{\ln 1.06} \approx 8.07$$
3. 由于$n$必须为整数年，最小值为$n = 9$年

**概念自测**

1. 当未知量位于指数中时，求解年数需要使用什么工具？

   *解析:* 对两边取对数，将指数降下来即可求解n。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 按月复利时直接使用年利率而不除以12
  - 原因: 忽略了利率必须与复利周期的长度匹配
  - 正确做法: 代入前务必将名义年利率除以每年的复利周期数
- **错误做法:** 计算折旧时将折旧率加1而非减1
  - 原因: 混淆了指数增长（复利）和指数衰减（折旧）
  - 正确做法: 对于余额递减折旧，使用因子$(1 - r/100)$而非$(1 + r/100)$
- **错误做法:** 按月复利时直接使用年数作为总周期数
  - 原因: 未将时间单位转换为与复利频率匹配的单位
  - 正确做法: 将年数乘以每年的周期数，得到总周期数$kn$
- **错误做法:** 当目标值尚未达到时，将「需要多少年」的答案向下取整
  - 原因: 如果$n > 8.07$，那么满8年时价值仍低于目标，只有满9年才能达到
  - 正确做法: 对于「首次超过」类问题，将求解得到的值向上取整到下一个整数年

## 速查表

| 场景 | 公式 | IB公式手册 |
| --- | --- | --- |
| 复利 | $A = P\left(1 + \frac{r}{100k}\right)^{kn}$ | 手册中已给出（主题1.4） |
| 余额递减折旧 | $V_n = V_0\left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$ | 不在手册中——使用$(1 - r/100)^n$ |
| 求解利率$r$ | $1 + \frac{r}{100k} = \left(\frac{A}{P}\right)^{1/(kn)}$ | 重排形式（开方） |
| 求解年数$n$ | $n = \dfrac{\ln(A/P)}{k\,\ln\!\left(1 + \frac{r}{100k}\right)}$ | 重排形式（取对数） |

## 下一步

现在你已经掌握了IB AA SL的两类金融模型——复利和余额递减折旧，并且可以重排公式求解未知利率或年数，你可以将它们回溯到其来源的等比数列与级数。复利增长和衰减本质上是伪装成等比数列的形式，因此同样的逻辑也适用于Paper 1和Paper 2中的人口、放射性衰变等其他指数模型问题。练习仅通过题干描述判断场景属于增长还是衰减，再选择对应的因子$(1 + r/100)$或$(1 - r/100)$。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-financial-mathematics-compound-interest-annuities/