二项式展开与二项式定理

IB 数学分析与方法 SL· Unit 1: Number & Algebra· 15 分钟阅读

1. 二项式系数★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

二项式系数

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

表示从n个物品中选择k个物品的方法数，用于确定二项式展开中各项的系数。

例:

\binom{5}{2} = 10

二项式系数也可以通过帕斯卡三角形得到，第n行（从第0行开始计数）给出了 $(a + b)^{n}$ 的所有系数。前5行如下所示：

\begin{aligned} \text{Row } 0: & \quad 1 \\ \text{Row } 1: & \quad 1 \quad 1 \\ \text{Row } 2: & \quad 1 \quad 2 \quad 1 \\ \text{Row } 3: & \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ \text{Row } 4: & \quad 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{aligned}

📐 例题

使用阶乘公式计算 $(3 6)$ ，然后用帕斯卡三角形验证结果。

1
将n=6，k=3代入阶乘公式：
2
$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1}$
3
约去分子分母的 $3!$ ，然后化简：
4
$\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$
5
帕斯卡三角形的第6行是 $[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]$ 。第4项（索引从0开始）是20，与计算结果一致。

Exam tip:

当n ≤ 6时，帕斯卡三角形比阶乘计算更快，且更不容易出现计算错误。

2. 二项式定理与完全展开★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

二项式定理

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

对任意正整数n，展开二项式和 $(a + b)^{n}$ 任意次幂的通用公式。

📐 例题

使用二项式定理完全展开 $(2 x - 3)^{3}$ 。

1
将二项式与公式对应： $a = 2 x$ ， $b = - 3$ ， $n = 3$ 。
2
根据二项式和写出每一项：
3
$\binom{3}{0}(2x)^3(-3)^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(-3)^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(-3)^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(-3)^3$
4
分别计算每一项：
5
1. 第一项： $1 \times 8 x^{3} \times 1 = 8 x^{3}$
2. 第二项： $3 \times 4 x^{2} \times (- 3) = - 36 x^{2}$
3. 第三项： $3 \times 2 x \times 9 = 54 x$
4. 第四项： $1 \times 1 \times (- 27) = - 27$
6
合并所有项得到最终展开式：
7
$(2x - 3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$

3. 寻找特定项★★★☆☆⏱ 6 min

IB考试中非常常见的一类题目要求不进行完全展开，求二项式展开中特定项的系数（或常数项）。解决这类问题时，你可以利用展开式的通项公式求解出符合要求指数的k值。

对于 $(a x^{m} + b)^{n}$ 的展开式，第(k+1)项（k从0开始）的通项公式为：

T_{k+1} = \binom{n}{k} (ax^m)^{n-k} b^k

📐 例题

求 $(x^{2} + \frac{2}{x})^{6}$ 展开式中的常数项。

1
确定参数值： $a = 1$ ， $m = 2$ ， $b = 2$ ， $n = 6$ 。代入通项公式：
2
$T_{k+1} = \binom{6}{k} (x^2)^{6-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k$
3
化简x的指数：
4
$\text{Exponent of } x = 2(6-k) - k = 12 - 3k$
5
常数项的x指数为0，因此求解k：
6
$12 - 3k = 0 \implies k = 4$
7
将k=4代回求出常数项：
8
$T_{5} = \binom{6}{4} (x^2)^{2} \left(\frac{2}{x}\right)^4 = 15 \times x^4 \times \frac{16}{x^4} = 240$
9
常数项是240。

Exam tip:

记住k从0开始计数，因此第m项对应k = m-1，而非k=m。

4. 常见陷阱

错误做法:

展开 $(a - b)^{n}$ 时忘记负号

原因:

将第二项当作正b而非-b，导致奇次项符号错误

正确做法:

代入前将 $(a - b)^{n}$ 重写为 $(a + (- b))^{n}$ ，明确追踪负号

错误做法:

直接将项数作为k的值（例如第5项取k=5）

原因:

展开式第一项对应k=0，因此k值与项数相差1

正确做法:

计算通项公式时，第m项对应k = m-1

错误做法:

交换指数：写作 $(k n) a^{k} b^{n - k}$ 而非 $(k n) a^{n - k} b^{k}$

原因:

公式中a和b与指数不匹配

正确做法:

应用公式前，明确标记二项式中哪一项是a，哪一项是b

错误做法:

忘记将项的常数系数提升到正确的幂次

原因:

只将变量部分提升到对应幂次，忽略了常数系数

正确做法:

记住 $(c x^{m})^{p} = c^{p} x^{m p}$ ，因此展开时一定要计算系数的幂次

5. 速查表

概念	公式/法则
二项式系数	$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
二项式定理	$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$
通项公式	$T_{k + 1} = (k n) (a x^{m})^{n - k} b^{k}$
常数项条件	令x的指数 = 0，求解k
帕斯卡三角形的项	项 = 上方两个数之和

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 1
求 $x^{3}$ 项的系数
2024 · Paper 1
完全展开 $(2 x - 3)^{4}$
2023 · Paper 2
求展开式中的常数项

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internal组合与排列阶乘记号的前置主题

下一步

二项式展开是IB AA SL的基础代数技能，会在多个主题中重复出现，最显著的是概率中的二项分布。二项式系数背后的组合推理也是许多概率计数问题的基础，这类问题经常出现在Paper 1和Paper 2中。即使抛开考题，理解二项式展开的结构也比反复用分配律展开高阶多项式快得多，还有助于求多项式表达式的导数或积分。掌握本子主题也能为你后续单元学习数列与级数做好准备。