# 二项式展开与二项式定理

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-binomial-expansion-and-binomial-theorem/

本子主题涵盖正整数指数二项式定理、二项式系数计算、二项式完全展开，以及无需完全展开寻找特定项的方法，是考试中常见的低至中等分值考点。

**先修:** [阶乘记号与组合](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-combinations-and-permutations/); 基础代数指数法则

## 学习目标

- 陈述正整数指数的二项式定理
- 使用阶乘和帕斯卡三角形计算二项式系数
- 展开n≤10的任意阶二项式表达式
- 无需完全展开即可找到二项式展开中的特定项

## 二项式系数

**二项式系数** — 表示从n个物品中选择k个物品的方法数，用于确定二项式展开中各项的系数。

*记法:* \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

*例:* \binom{5}{2} = 10

二项式系数也可以通过帕斯卡三角形得到，第n行（从第0行开始计数）给出了$(a+b)^n$的所有系数。前5行如下所示：

$$\begin{aligned} \text{Row } 0: & \quad 1 \\ \text{Row } 1: & \quad 1 \quad 1 \\ \text{Row } 2: & \quad 1 \quad 2 \quad 1 \\ \text{Row } 3: & \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ \text{Row } 4: & \quad 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{aligned}$$

**例题:** 使用阶乘公式计算$\binom{6}{3}$，然后用帕斯卡三角形验证结果。

1. 将n=6，k=3代入阶乘公式：
2. $$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1}$$
3. 约去分子分母的$3!$，然后化简：
4. $$\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$
5. 帕斯卡三角形的第6行是$[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]$。第4项（索引从0开始）是20，与计算结果一致。

> **考试提示:** 当n ≤ 6时，帕斯卡三角形比阶乘计算更快，且更不容易出现计算错误。

## 二项式定理与完全展开

**二项式定理** — 对任意正整数n，展开二项式和$(a+b)^n$任意次幂的通用公式。

*记法:* (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

> **warning**
>
> 如果你的二项式包含负项，例如$(a - b)$，将其重写为$(a + (-b))$以避免符号错误。$-b$的所有奇次幂都为负。

**例题:** 使用二项式定理完全展开$(2x - 3)^3$。

1. 将二项式与公式对应：$a=2x$，$b=-3$，$n=3$。
2. 根据二项式和写出每一项：
3. $$\binom{3}{0}(2x)^3(-3)^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(-3)^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(-3)^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(-3)^3$$
4. 分别计算每一项：
5. 1. 第一项：$1 \times 8x^3 \times 1 = 8x^3$
2. 第二项：$3 \times 4x^2 \times (-3) = -36x^2$
3. 第三项：$3 \times 2x \times 9 = 54x$
4. 第四项：$1 \times 1 \times (-27) = -27$
6. 合并所有项得到最终展开式：
7. $$(2x - 3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$$

## 寻找特定项

IB考试中非常常见的一类题目要求不进行完全展开，求二项式展开中特定项的系数（或常数项）。解决这类问题时，你可以利用展开式的通项公式求解出符合要求指数的k值。

对于$(ax^m + b)^n$的展开式，第(k+1)项（k从0开始）的通项公式为：

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} (ax^m)^{n-k} b^k$$

**例题:** 求$\left(x^2 + \frac{2}{x}\right)^6$展开式中的常数项。

1. 确定参数值：$a=1$，$m=2$，$b=2$，$n=6$。代入通项公式：
2. $$T_{k+1} = \binom{6}{k} (x^2)^{6-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k$$
3. 化简x的指数：
4. $$\text{Exponent of } x = 2(6-k) - k = 12 - 3k$$
5. 常数项的x指数为0，因此求解k：
6. $$12 - 3k = 0 \implies k = 4$$
7. 将k=4代回求出常数项：
8. $$T_{5} = \binom{6}{4} (x^2)^{2} \left(\frac{2}{x}\right)^4 = 15 \times x^4 \times \frac{16}{x^4} = 240$$
9. 常数项是240。

> **考试提示:** 记住k从0开始计数，因此第m项对应k = m-1，而非k=m。

## 常见错误

- **错误做法:** 展开$(a - b)^n$时忘记负号
  - 原因: 将第二项当作正b而非-b，导致奇次项符号错误
  - 正确做法: 代入前将$(a - b)^n$重写为$(a + (-b))^n$，明确追踪负号
- **错误做法:** 直接将项数作为k的值（例如第5项取k=5）
  - 原因: 展开式第一项对应k=0，因此k值与项数相差1
  - 正确做法: 计算通项公式时，第m项对应k = m-1
- **错误做法:** 交换指数：写作$\binom{n}{k} a^k b^{n-k}$而非$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
  - 原因: 公式中a和b与指数不匹配
  - 正确做法: 应用公式前，明确标记二项式中哪一项是a，哪一项是b
- **错误做法:** 忘记将项的常数系数提升到正确的幂次
  - 原因: 只将变量部分提升到对应幂次，忽略了常数系数
  - 正确做法: 记住$(cx^m)^p = c^p x^{mp}$，因此展开时一定要计算系数的幂次

## 速查表

| 概念 | 公式/法则 |
| --- | --- |
| 二项式系数 | $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| 二项式定理 | $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ |
| 通项公式 | $T_{k+1} = \binom{n}{k} (ax^m)^{n-k} b^k$ |
| 常数项条件 | 令x的指数 = 0，求解k |
| 帕斯卡三角形的项 | 项 = 上方两个数之和 |

## 下一步

二项式展开是IB AA SL的基础代数技能，会在多个主题中重复出现，最显著的是概率中的二项分布。二项式系数背后的组合推理也是许多概率计数问题的基础，这类问题经常出现在Paper 1和Paper 2中。即使抛开考题，理解二项式展开的结构也比反复用分配律展开高阶多项式快得多，还有助于求多项式表达式的导数或积分。掌握本子主题也能为你后续单元学习数列与级数做好准备。

- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-overview/)
- [函数概念、定义域、值域与符号表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-function-concepts-domain-range-and/)

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