等差数列与级数

IB 数学：分析与方法 SL· 40 分钟阅读

1. 等差数列简介★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

等差数列

$u_{n}$ = nth term, $d$ = common difference

等差数列的相邻两项之间差为常数。这个差称为公差，对所有 $n$ 计算公式为 $d = u_{n + 1} - u_{n}$ 。

例:

2, 5, 8, 11,... 是公差为 $d = 3$ 的等差数列

等差数列可以是递增数列（ $d$ 为正）、递减数列（ $d$ 为负）或常数列（ $d = 0$ ，所有项相等）。分类为等差数列前，始终要确认整个数列的差都是常数。

📐 例题

判断数列 $18, 14, 10, 5, ...$ 是否为等差数列。

1
计算前两项的差：
2
$u_2 - u_1 = 14 - 18 = -4$
3
计算接下来两项的差：
4
$u_3 - u_2 = 10 - 14 = -4$
5
再计算下一个差进行确认：
6
$u_4 - u_3 = 5 - 10 = -5$
7
由于并非所有相邻项的差都是常数：
8
该数列不是等差数列。

Exam tip:

始终至少检查两对相邻项，确认数列是否为等差数列。

2. 等差数列的第n项★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

第n项公式

任意等差数列的第n项由以下公式给出，该公式推导自首项加上 $(n - 1)$ 次公差：

例:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$

当已知另外三个值时，该公式可以变形求出任意未知值（ $u_{1}$ 、 $d$ 或 $n$ ）。这是IB考试中本子主题最常考的技能之一。

📐 例题

等差数列的第4项为12，第9项为27。求 $u_{1}$ 和 $d$ 。

1
使用第n项公式分别写出两项的方程：
2
$\begin{align} u_4 &= u_1 + 3d = 12 \\ u_9 &= u_1 + 8d = 27 \end{align}$
3
第二个方程减去第一个方程消去 $u_{1}$ ：
4
$(u_1 + 8d) - (u_1 + 3d) = 27 - 12 \\ 5d = 15 \\ d = 3$
5
将 $d = 3$ 代回第一个方程求 $u_{1}$ ：
6
$u_1 + 3(3) = 12 \\ u_1 = 12 - 9 = 3$
7
最终结果： $u_{1} = 3$ , $d = 3$

3. 等差级数的和★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

前n项和

$S_{n}$ = sum of first n terms

等差级数的和有两个等价公式，适用于不同场景：

例:

$S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ (已知首项和末项)\n2. $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ (已知 $u_{1}$ 和 $d$ )

等差级数常用来建模实际场景，例如定期递增储蓄、堆叠物体，或每期增加固定金额的月度付款。

📐 例题

利亚姆1月存100美元，2月存110美元，3月存120美元，以此类推，每月储蓄增加10美元。他1年后总储蓄是多少？

1
确定已知量：1年=12个月，因此 $n = 12$ 。 $u_{1} = 100$ ， $d = 10$ 。
2
因为已知 $u_{1}$ 和 $d$ ，使用第二个求和公式：
3
$S_n = \frac{n}{2}\left(2u_1 + (n-1)d\right)$
4
代入数值计算：
5
$S_{12} = \frac{12}{2}\left(2(100) + 11(10)\right) = 6\left(200 + 110\right) = 6(310) = 1860$
6
利亚姆1年后总储蓄为1860美元。

4. 常见陷阱

错误做法:

在第n项公式或求和公式中误用 $n$ 代替 $(n - 1)$

原因:

从首项出发到第n项，只需要加 $(n - 1)$ 次公差

正确做法:

始终用 $n = 1$ 测试确认；如果结果等于 $u_{1}$ ，说明公式设置正确

错误做法:

递减数列中将 $d$ 算成正数

原因:

学生经常颠倒顺序，用前项减后项

正确做法:

始终按 $d = u_{n + 1} - u_{n}$ （后项减前项）计算，得到正确符号

错误做法:

应用题中数错项数 $n$

原因:

例如，将1月到12月算作11项而非12项

正确做法:

始终明确将第一项记为 $n = 1$ ，计算前再次核对总项数

错误做法:

混淆等差数列和等比数列的公式

原因:

混淆了（等差数列的）加法常数和（等比数列的）乘法常数

正确做法:

应用公式前，先检查相邻项差为常数（等差）还是比为常数（等比）

5. 速查表

概念	公式	适用场景
公差	d = u_{n+1} - u_n	判断数列是否为等差数列
第n项	u_n = u_1 + (n-1)d	求数列中任意项
和（已知u₁ + uₙ）	S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)	已知首项和末项时
和（已知u₁ + d）	S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)	已知首项和公差时

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求前15项的和
2022 · 2
求解储蓄问题
2023 · 1
已知两项求第n项

下一步

等差数列与级数是IB AA SL中所有数列和级数内容的基础。你在这里学到的结构（识别数列类型、求项、计算和）与你接下来要学习的核心数列类型——等比数列非常相似。两者经常在考试中一起考查，你在学习西格玛记号（用于简洁写出数列和）时也会用到这些概念。本子主题的掌握对后续所有数列内容的学习至关重要，而数列内容在数与代数单元中占很大比例。