# 等差数列与级数

> IB 数学：分析与方法 SL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/

本子主题涵盖等差数列与级数的核心性质，包括第n项公式和前n项和公式。你将学习如何应用这些知识解决IB AA SL考试中常见的实际问题和抽象问题。

**先修:** [基础线性方程求解](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-algebra-linear-equations/); 数列的项记法

## 学习目标

- 识别等差数列并计算公差
- 使用核心公式求等差数列的第n项
- 计算等差数列前n项的和
- 解决涉及等差数列的实际应用题和抽象考题

## 等差数列简介

**等差数列** — 等差数列的相邻两项之间差为常数。这个差称为公差，对所有$n$计算公式为 $d = u_{n+1} - u_n$。

*记法:* $u_n$ = nth term, $d$ = common difference

*例:* 2, 5, 8, 11,... 是公差为$d=3$的等差数列

等差数列可以是递增数列（$d$为正）、递减数列（$d$为负）或常数列（$d=0$，所有项相等）。分类为等差数列前，始终要确认整个数列的差都是常数。

**例题:** 判断数列 $18, 14, 10, 5,...$ 是否为等差数列。

1. 计算前两项的差：
2. $$u_2 - u_1 = 14 - 18 = -4$$
3. 计算接下来两项的差：
4. $$u_3 - u_2 = 10 - 14 = -4$$
5. 再计算下一个差进行确认：
6. $$u_4 - u_3 = 5 - 10 = -5$$
7. 由于并非所有相邻项的差都是常数：
8. 该数列**不是**等差数列。

> **考试提示:** 始终至少检查两对相邻项，确认数列是否为等差数列。

## 等差数列的第n项

**第n项公式** — 任意等差数列的第n项由以下公式给出，该公式推导自首项加上$(n-1)$次公差：

*例:* $u_n = u_1 + (n-1)d$

当已知另外三个值时，该公式可以变形求出任意未知值（$u_1$、$d$或$n$）。这是IB考试中本子主题最常考的技能之一。

**例题:** 等差数列的第4项为12，第9项为27。求$u_1$和$d$。

1. 使用第n项公式分别写出两项的方程：
2. $$\begin{align} u_4 &= u_1 + 3d = 12 \\ u_9 &= u_1 + 8d = 27 \end{align}$$
3. 第二个方程减去第一个方程消去$u_1$：
4. $$(u_1 + 8d) - (u_1 + 3d) = 27 - 12 \\ 5d = 15 \\ d = 3$$
5. 将$d=3$代回第一个方程求$u_1$：
6. $$u_1 + 3(3) = 12 \\ u_1 = 12 - 9 = 3$$
7. 最终结果：$u_1=3$, $d=3$

> **tip**
>
> 如果你忘记公式用的是$n$还是$(n-1)$，代入$n=1$测试。如果得到$u_1 = u_1$，说明公式正确。

## 等差级数的和

**前n项和** — 等差级数的和有两个等价公式，适用于不同场景：

*记法:* $S_n$ = sum of first n terms

*例:* 1. $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$ (已知首项和末项)\n2. $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)$ (已知$u_1$和$d$)

等差级数常用来建模实际场景，例如定期递增储蓄、堆叠物体，或每期增加固定金额的月度付款。

**例题:** 利亚姆1月存100美元，2月存110美元，3月存120美元，以此类推，每月储蓄增加10美元。他1年后总储蓄是多少？

1. 确定已知量：1年=12个月，因此$n=12$。$u_1 = 100$，$d=10$。
2. 因为已知$u_1$和$d$，使用第二个求和公式：
3. $$S_n = \frac{n}{2}\left(2u_1 + (n-1)d\right)$$
4. 代入数值计算：
5. $$S_{12} = \frac{12}{2}\left(2(100) + 11(10)\right) = 6\left(200 + 110\right) = 6(310) = 1860$$
6. 利亚姆1年后总储蓄为1860美元。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在第n项公式或求和公式中误用$n$代替$(n-1)$
  - 原因: 从首项出发到第n项，只需要加$(n-1)$次公差
  - 正确做法: 始终用$n=1$测试确认；如果结果等于$u_1$，说明公式设置正确
- **错误做法:** 递减数列中将$d$算成正数
  - 原因: 学生经常颠倒顺序，用前项减后项
  - 正确做法: 始终按$d = u_{n+1} - u_n$（后项减前项）计算，得到正确符号
- **错误做法:** 应用题中数错项数$n$
  - 原因: 例如，将1月到12月算作11项而非12项
  - 正确做法: 始终明确将第一项记为$n=1$，计算前再次核对总项数
- **错误做法:** 混淆等差数列和等比数列的公式
  - 原因: 混淆了（等差数列的）加法常数和（等比数列的）乘法常数
  - 正确做法: 应用公式前，先检查相邻项差为常数（等差）还是比为常数（等比）

## 速查表

| 概念 | 公式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 公差 | d = u_{n+1} - u_n | 判断数列是否为等差数列 |
| 第n项 | u_n = u_1 + (n-1)d | 求数列中任意项 |
| 和（已知u₁ + uₙ） | S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) | 已知首项和末项时 |
| 和（已知u₁ + d） | S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d) | 已知首项和公差时 |

## 下一步

等差数列与级数是IB AA SL中所有数列和级数内容的基础。你在这里学到的结构（识别数列类型、求项、计算和）与你接下来要学习的核心数列类型——等比数列非常相似。两者经常在考试中一起考查，你在学习西格玛记号（用于简洁写出数列和）时也会用到这些概念。本子主题的掌握对后续所有数列内容的学习至关重要，而数列内容在数与代数单元中占很大比例。

- [等比数列与无穷等比级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-geometric-sequences-and-infinite-geometric/)
- [指数与对数法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-laws-of-exponents-and-logarithms/)
- [求解指数方程与对数方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u1-solving-exponential-and-logarithmic-equations/)

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