几何与三角 (Geometry and Trigonometry) — IB Math AA SL AA SL 学习指南

适合谁：IB Math AA SL 参加 IB Math: Analysis & Approaches SL 的考生。

覆盖内容：正弦与余弦定理、三角恒等式与方程、单位圆精确值、三维几何体表面积与体积、二维与三维向量基础五大核心子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是几何与三角？

几何与三角是IB Math AA SL的第三大核心主题，对应考纲Topic 3，占考试总分的15%-20%，核心是用代数方法量化求解平面、空间几何与三角形相关的问题。该章节既会出独立的简答题，也会和函数、微积分等考点结合出综合题，是后续很多知识点的基础工具。

2. 正弦与余弦定理 (Sine and Cosine Rules)

正弦与余弦定理适用于任意三角形（无需为直角三角形），是解三角形问题的核心工具：

• 正弦定理（Sine Rule）：对任意△ABC，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为三角形外接圆半径，有： $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ 适用场景：已知两角一边、两边及其中一边的对角，注意后者可能存在两解的情况。
• 余弦定理（Cosine Rule）：对任意△ABC，有： $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ 适用场景：已知两边夹一角、已知三边求角。

范例：△ABC中a=5cm，b=7cm，角C=60°，求c的长度。代入余弦定理得：$c^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\times \cos 60°=74-35=39$，因此$c=\sqrt{39}\approx 6.24\text{cm}$。

3. 三角恒等式与方程 (Trig Identities and Equations)

AA SL要求掌握的核心三角恒等式共4组，全部由直角三角形和单位圆推导而来：

1. 毕达哥拉斯恒等式（Pythagorean Identity）：${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
2. 正切恒等式：$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$（$\cos \theta \ne 0$）
3. 二倍角正弦恒等式：$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
4. 二倍角余弦恒等式：$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$

解三角方程的核心逻辑是先通过恒等式化简为单个三角函数等于常数的形式，再结合三角函数的周期性，在题目给定的定义域内找到所有解（sin、cos周期为$2\pi$，tan周期为$\pi$）。

范例：求$0\le x\le 2\pi$范围内$2{\cos }^{2}x-1=0.5$的解。左边化简为$\cos 2x$，因此$\cos 2x=0.5$，对应$2x$的范围是$0\le 2x\le 4\pi$，解为$2x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$，因此$x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$。

4. 单位圆与精确值 (Unit Circle, Exact Values)

**单位圆（Unit Circle）**是圆心在原点、半径为1的圆，圆周上任意点的坐标为$(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\theta$为x轴正方向逆时针旋转到该点的角度。单位圆是推导三角恒等式、记忆特殊角精确值的核心工具，特殊角（0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值无需死记，可通过单位圆快速推导，同时要记住象限符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦（对应四个象限中值为正的三角函数）。

范例：求$\cos 120°$的精确值。120°在第二象限，cos值为负，参考角为$180°-120°=60°$，因此$\cos 120°=-\cos 60°=-\frac{1}{2}$。

5. 三维几何体的体积与表面积 (Volumes and Surface Areas of 3D Shapes)

AA SL要求掌握5类常见三维几何体的体积与表面积计算，考试时会提供公式，但你需要明确每个符号的含义：

• 棱柱（Prism）：体积=底面积×高，总表面积=2×底面积+侧面积
• 棱锥（Pyramid）：体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高
• 球（Sphere）：体积$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，表面积$S=4\pi r^2$
• 圆柱（Cylinder）：体积$V=\pi r^{2}h$，总表面积$S=2\pi r^2+2\pi rh$
• 圆锥（Cone）：体积$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，总表面积$S=\pi r^2+\pi rl$（$l$为斜高，即圆锥侧面母线的长度）

范例：半径5cm、高12cm的圆锥，求体积和总表面积。体积$V=\frac{1}{3}\times \pi \times 5^2\times 12=100\pi \approx 314{\text{cm}}^3$；斜高$l=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{cm}$，总表面积$S=\pi \times 5^2+\pi \times 5\times 13=90\pi \approx 283{\text{cm}}^2$。

6. 二维与三维向量基础 (2D and 3D Vectors Basics)

**向量（Vector）**是同时有大小和方向的量，分量形式下二维向量为$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$，三维向量为$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$：

• 向量的模（Magnitude）：即向量的大小，对$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$，$|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• 向量运算：加减为对应分量相加减，标量乘法为每个分量乘标量
• 数量积（Scalar Product）：两个向量的数量积是标量，公式为$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，其中$\theta$为两个向量起点重合时的夹角，可用于求夹角、判断两向量是否垂直（垂直时数量积为0）。

范例：$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$，$\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right)$，数量积为$2\times 1+3\times (-2)+(-1)\times 4=-8$，$\cos \theta =\frac{-8}{|\vec{a}||\vec{b}|}<0$，因此两向量夹角为钝角。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 正弦定理求角漏解：已知两边及其中一边的对角求角时，学生容易只写锐角解，忽略钝角解。错误原因是默认正弦值为正对应的角只有锐角，正确做法是判断所求角和已知角的大小关系，若所求角可能大于已知角，则需要验证钝角解是否符合三角形内角和规则。
2. 三角方程漏解：解三角方程时只写出第一个周期的解，忽略定义域要求的所有周期解。错误原因是没有先计算变形后角度的范围，正确做法是先确定比如$2x$、$x+30°$等中间变量的范围，列出所有符合要求的中间解，再换算回原变量。
3. 表面积漏算底面：计算圆锥、圆柱总表面积时只算侧面积，忽略底面积。错误原因是读题时没有注意「总表面积」的要求，正确做法是读题时圈出是侧面积还是总表面积，套公式时核对是否需要加底面积。
4. 数量积符号错误：计算向量数量积时分量的正负号算错，或者夹角不是起点重合的角度。错误原因是计算时粗心，或者对向量夹角的定义理解不清，正确做法是计算分量乘积时逐一核对符号，求夹角前先平移向量让两个向量起点重合。

8. 练习题 (IB Math AA SL 风格)

题1

△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，$\angle BAC=60°$，求BC的长度和$\angle ABC$的大小，保留3位有效数字。 解答：

1. 用余弦定理求BC：$B{C}^2=8^2+5^2-2\times 8\times 5\times \cos 60°=64+25-40=49$，因此$BC=7.00\text{cm}$。
2. 用正弦定理求$\angle ABC$：$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{BC}{\sin 60°}$，代入得$\sin \angle ABC=\frac{5\times \sin 60°}{7}\approx 0.6186$。因为AC<BC，所以$\angle ABC<\angle BAC=60°$，只有一解，因此$\angle ABC\approx 38.2°$。

题2

求$0°\le x\le 360°$范围内方程$\sin 2x+\sin x=0$的所有解。 解答： 用二倍角公式展开得$2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1)=0$：

• 若$\sin x=0$，解为$x=0°,180°,360°$
• 若$2\cos x+1=0$即$\cos x=-0.5$，解为$x=120°,240°$ 所有解为$0°,120°,180°,240°,360°$。

题3

已知三维向量$\vec{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$，$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$，求两向量的夹角，精确到1度。 解答：

1. 数量积：$\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times (-2)+0\times 1+4\times 2=2$
2. 模长：$|\vec{u}|=\sqrt{3^2+0+4^2}=5$，$|\vec{v}|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+2^2}=3$
3. $\cos \theta =\frac{2}{5\times 3}\approx 0.1333$，因此$\theta \approx 82°$。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本主题是后续三角函数微积分、空间向量直线与平面方程等考点的基础，三角恒等式的变形能力会直接影响你解复杂综合题的速度，向量基础也会为统计线性回归、空间几何综合题做铺垫。建议你掌握基础考点后，优先练习近5年P1、P2的相关真题，熟悉考官的出题逻辑和评分标准。

如果你在练习过程中遇到任何错题、知识点盲区，都可以随时到小欧主页提问，我们会为你提供针对性的讲解和拓展练习。