函数 (Functions) — IB Math AA SL AA SL 学习指南

适合谁：IB Math AA SL 参加 IB Math: Analysis & Approaches SL 的考生。

覆盖内容：覆盖定义域/值域/复合函数/反函数、常见初等函数、图像变换、图像法解方程、函数建模所有核心子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是函数？

函数（Function）是一种特殊的对应关系：将定义域（domain）中每个合法的输入值$x$，唯一对应到值域（range）中的一个输出值$y$，通常记为$f:X\to Y,f(x)=y$，其中$X$为定义域，$Y$为值域。 函数是IB AA SL考纲的第二模块核心内容，也是后续微积分、三角函数应用、统计回归等所有考点的基础，占试卷总分的15%-20%，选择题、简答题、长答题均会涉及。

2. 定义域、值域、复合函数、反函数

核心概念定义

1. 定义域（domain）：所有合法输入$x$的集合，需满足3个基本规则：分母不为0、偶次根号内表达式非负、对数的真数大于0。
2. 值域（range）：所有输出$y$的集合，可通过代数变形或图像法求解，例如二次函数的值域可通过顶点坐标判断。
3. 复合函数（composite function）：两个函数$f$和$g$的复合记为$f\circ g(x)=f(g(x))$，运算顺序为先算内层函数$g(x)$，再将结果代入外层函数$f$，注意$f\circ g(x)$和$g\circ f(x)$通常不相等。
4. 反函数（inverse function）：记为$f^{-1}(x)$，仅当原函数是一一对应（one-to-one）（每个$y$仅对应一个$x$）时存在，满足$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$，图像与原函数关于直线$y=x$对称。

小范例

已知$f(x)=3x+1$，$g(x)=x^2$：

• 复合函数$f\circ g(x)=f(x^2)=3x^2+1$，$g\circ f(x)=g(3x+1)=(3x+1{)}^2=9x^2+6x+1$
• 求$f(x)$的反函数：互换$x$和$y$得$x=3y+1$，解得$y=\frac{x-1}{3}=f^{-1}(x)$

3. 线性、二次、指数、对数函数

IB AA SL常考的四类初等函数性质如下：

1. 线性函数（linear function）：$f(x)=mx+c$，$m$为斜率（gradient），$c$为$y$截距（y-intercept），图像为直线，适合描述匀速变化的场景。
2. 二次函数（quadratic function）：$f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$，可变形为顶点式$f(x)=a(x-h{)}^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为$x=h$，$a>0$开口向上、有最小值，$a<0$开口向下、有最大值。
3. 指数函数（exponential function）：$f(x)=a^x(a>0,a\ne 1)$，恒过$(0,1)$点，$a>1$时单调递增（增长模型），$0<a<1$时单调递减（衰减模型）。
4. 对数函数（logarithmic function）：$f(x)={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$，是指数函数的反函数，恒过$(1,0)$点，定义域为$x>0$，常用自然对数$\ln x={\log }_{e}x$、常用对数$\lg x={\log }_{10}x$。

4. 函数图像的变换

所有图像变换可分为三类，考官常结合具体函数考变换后的表达式或图像：

1. 平移变换：$f(x)+c$为沿$y$轴向上平移$c$个单位，$f(x-c)$为沿$x$轴向右平移$c$个单位（$x$方向遵循"左加右减"规则）。
2. 拉伸变换：$af(x)$为沿$y$轴拉伸为原来的$a$倍（$a>1$拉伸，$0<a<1$压缩），$f(bx)$为沿$x$轴压缩为原来的$\frac{1}{b}$（$b>1$压缩，$0<b<1$拉伸）。
3. 反射变换：$-f(x)$为沿$x$轴反射翻转，$f(-x)$为沿$y$轴反射翻转。

小范例

原函数$f(x)=x^2$，变换为$f(x-2)+3=(x-2{)}^2+3$，等价于将原图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，顶点从$(0,0)$变为$(2,3)$。

5. 图像法解方程

图像法解方程的核心逻辑是：方程$f(x)=g(x)$的解，就是两个函数$y=f(x)$和$y=g(x)$交点的$x$坐标；若为$f(x)=k$的形式，就是$y=f(x)$与水平线$y=k$交点的$x$坐标。 IB考试中允许使用GDC（图形计算器），标准解题步骤为：① 将两个函数输入GDC；② 调整窗口范围让所有交点可见；③ 用GDC的交点工具读取坐标，按要求保留有效数字（通常为3位）。 例如解方程$2^x=x+2$，输入两个函数后可得到两个交点，$x\approx -1.69$和$x\approx 2.00$，即为方程的解。

6. 函数建模

函数建模是指用合适的函数拟合现实场景的数据，解决实际问题，是SL长答题的高频考点，常见模型及适用场景：

1. 线性模型：适合匀速变化场景，如固定速度的位移、单价固定的总成本计算；
2. 二次模型：适合抛物运动、利润最大化等存在极值的场景；
3. 指数模型：适合复利计算、细菌繁殖、放射性衰变等增长率固定的场景，通用形式为$N(t)=N_0{e}^{kt}$，$N_0$为初始值，$k$为增长率（正为增长，负为衰减）。 建模标准步骤：① 确定自变量和因变量；② 根据场景逻辑选择合适的函数类型；③ 用已知条件求解函数的未知参数；④ 代入待求量计算，验证结果合理性。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：计算复合函数时颠倒顺序，把$f(g(x))$算成$g(f(x))$。原因：记反了复合函数的运算顺序，误以为外层函数先算。正确做法：复合函数中靠近$x$的是内层函数，先计算内层的结果再代入外层。
2. 错误：把反函数$f^{-1}(x)$当成$\frac{1}{f(x)}$。原因：混淆了反函数记号和负一次幂的含义。正确做法：反函数需通过互换$x$和$y$、重新求解$y$得到，和原函数的倒数无直接关系。
3. 错误：图像平移时把$f(x+c)$当成向右平移$c$个单位。原因：记错了$x$方向的平移规则。正确做法：$x$方向遵循"左加右减"，$f(x+c)$是向左平移$c$个单位，$f(x-c)$才是向右平移。
4. 错误：解对数方程时忽略真数大于0的要求，求出所有解直接保留。原因：忘记对数函数的定义域限制。正确做法：所有对数方程的解都要代入真数验证，舍去真数≤0的增根。

8. 练习题 (IB Math AA SL 风格)

第1题

题干：已知函数$f(x)=2x-4$，$g(x)=x^2+1$（定义域$x\ge 0$），求：(a) $f\circ g(3)$的值；(b) $g^{-1}(x)$的表达式及定义域。 解答： (a) 先计算内层函数值$g(3)=3^2+1=10$，再代入$f(x)$得$f(10)=2\times 10-4=16$，故$f\circ g(3)=16$。 (b) 令$y=x^2+1$，互换$x$和$y$得$x=y^2+1$，整理得$y^2=x-1$，因原函数定义域$x\ge 0$，反函数取正根，故$g^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$；原函数$g(x)$的值域为$y\ge 1$，故反函数定义域为$x\ge 1$。

第2题

题干：用图像法求方程$\ln x=3-x$的解，保留3位有效数字。 解答： 将$y_1=\ln x$和$y_2=3-x$输入GDC，调整窗口后找到唯一交点的$x$坐标为$2.21$，故方程的解为$x\approx 2.21$。

第3题

题干：某放射性物质初始质量为200g，每10年质量衰减为原来的一半，求：(a) t年后剩余质量$M(t)$的表达式；(b) 剩余质量为50g时需要的时间。 解答： (a) 指数衰减模型为$M(t)=M_0\times 2^{-\frac{t}{T}}$，代入初始值$M_0=200$、半衰期$T=10$，得$M(t)=200\times 2^{-\frac{t}{10}}$。 (b) 令$200\times 2^{-\frac{t}{10}}=50$，化简得$2^{-\frac{t}{10}}=\frac{1}{4}=2^{-2}$，故$-\frac{t}{10}=-2$，解得$t=20$年。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

函数是IB AA SL的核心基础模块，后续的导数计算、积分应用、三角函数性质、统计回归等考点都建立在函数的逻辑之上，熟练掌握函数的性质和解题方法，能大幅降低后续内容的学习难度，建议你学完本指南后多练10-15道历年真题的函数相关题目，巩固知识点。 如果你在刷题过程中遇到任何函数相关的问题，都可以随时到小欧提问，我们会提供针对性的讲解和练习指导。