微积分 (Calculus) — IB Math AA SL AA SL 学习指南

适合谁：IB Math AA SL 参加 IB Math: Analysis & Approaches SL 的考生。

覆盖内容：极限与导数（幂法则、链式法则）、驻点与优化问题、定积分与不定积分、曲线下及曲线间面积计算、微积分运动学应用五大核心考点。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是微积分？

微积分是研究变化率与累积量的数学分支，分为微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）两个核心模块，对应IB AA SL考纲第5单元，占卷面总分的20%-25%，是冲5-7分必须掌握的核心内容。微分研究函数的瞬时变化率（即导数），积分研究函数在区间上的累积量（即面积、路程等），二者通过微积分基本定理互为逆运算。

2. 极限、导数：幂法则与链式法则

极限（limit） 是微积分的基础：当自变量$x$趋近于某一值$a$时，函数$f(x)$趋近的确定值记为${\lim }_{x\to a}f(x)$。 导数（derivative） 是函数在某点的瞬时变化率，本质是割线斜率的极限，定义式为： $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ IB考试中不需要用定义式求导，直接用法则计算即可：

1. 幂法则（power rule）：对幂函数$f(x)=x^n$，导数为$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$，$n$可以是整数、分数或负数。
2. 链式法则（chain rule）：复合函数$f(g(x))$的导数为外函数导数乘内函数导数，即$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$，是高频考点。

范例：求$f(x)=(2x^2+3{)}^4$的导数： 外函数导数为$4(2x^2+3{)}^3$，内函数导数为$4x$，因此$f^{\prime }(x)=4(2x^2+3{)}^3\cdot 4x=16x(2x^2+3{)}^3$。

3. 驻点与优化问题

驻点（stationary point） 指导数$f^{\prime }(x)=0$的点，分为三类：极大值点、极小值点、水平拐点。IB考试中常用二阶导数（second derivative）判定类型：

• 若$f^{\prime \prime }(a)<0$，则$x=a$是极大值点
• 若$f^{\prime \prime }(a)>0$，则$x=a$是极小值点
• 若$f^{\prime \prime }(a)=0$，需进一步验证左右导数的符号变化

优化问题是微分的核心应用，解题步骤固定：① 设变量，写出目标函数；② 求导找驻点；③ 验证驻点的极值类型；④ 结合定义域确定全局最优值。

范例：用80cm长的铁丝围一个长方形，求面积最大值： 设长为$x$，宽为$40-x$，面积$S(x)=x(40-x)=40x-x^2$，求导得$S^{\prime }(x)=40-2x$，令$S^{\prime }(x)=0$得$x=20$，二阶导$S^{\prime \prime }(x)=-2<0$为极大值，最大面积为$20\times 20=400c{m}^2$。

4. 定积分与不定积分

不定积分（indefinite integral） 是导数的逆运算：若$F^{\prime }(x)=f(x)$，则$\int f(x)dx=F(x)+C$，其中$C$为积分常数（constant of integration），漏写会扣分。幂函数积分公式为： $$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\ne -1$$

定积分（definite integral） 表示函数在区间$[a,b]$上的累积量，用微积分基本定理计算： $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$ 其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，结果不需要加积分常数。

范例：计算${\int }_1^2(3x^2+2x)dx$： 先求原函数$F(x)=x^3+x^2$，代入上下限得$F(2)-F(1)=(8+4)-(1+1)=10$。

5. 曲线下及曲线间面积

积分的几何意义是曲线与坐标轴围成的净面积：

1. 若曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上位于$x$轴上方，面积为${\int }_a^{b}f(x)dx$；若位于$x$轴下方，积分结果为负，需取绝对值得到面积。
2. 若两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$在$[a,b]$上满足$f(x)\ge g(x)$，则两条曲线之间的面积为${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$，需先求交点确定积分上下限。

范例：求$y=x$和$y=x^2$在$[0,1]$之间的面积： $x\ge x^2$在$[0,1]$上恒成立，因此面积为${\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。

6. 运动学应用

微积分是解决直线运动问题的核心工具，位移$s(t)$、速度$v(t)$、加速度$a(t)$的关系为：

• 微分关系：$v(t)=s^{\prime }(t)$，$a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$
• 积分关系：$s(t)=\int v(t)dt+C$，$v(t)=\int a(t)dt+C$，常数$C$由初始条件确定

注意：${\int }_{t1}^{t2}v(t)dt$是位移（矢量，有正负），${\int }_{t1}^{t2}|v(t)|dt$是路程（标量，非负），求路程时需先找$v(t)=0$的点分段积分。

范例：质点速度$v(t)=t^2-4t+3$，求0到3秒的路程： $v(t)=0$的解为$t=1$和$t=3$，0-1秒$v(t)\ge 0$，1-3秒$v(t)\le 0$，因此路程为： $${\int }_0^1(t^2-4t+3)dt+{\int }_1^3-(t^2-4t+3)dt=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}m$$

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：求不定积分时漏写积分常数$C$。原因：忽略了常数的导数为0，所有原函数都带常数项。正确：只要是不定积分，结果末尾必须加$C$，IB考试漏写扣1分。
2. 错误：求$x$轴下方的曲线面积时直接用积分的负数结果。原因：混淆了积分的代数意义和几何面积的非负性。正确：分段积分，$x$轴下方的积分结果取绝对值后相加。
3. 错误：运动学问题中直接积分$v(t)$得到路程。原因：没有意识到速度是矢量，正负代表方向，路程是标量。正确：求路程必须先找$v(t)=0$的点，分段积分$|v(t)|$。
4. 错误：链式法则应用时漏乘内导。原因：只对外层函数求导就结束，忘记复合函数的内层也要求导。正确：复合函数求导先拆分内外层，外导乘内导，比如$(3x+1{)}^2$的导数是$2(3x+1)\times 3$，不是$2(3x+1)$。
5. 错误：优化问题不验证驻点类型，也不考虑定义域。原因：默认驻点就是最值点，忽略实际问题的变量范围。正确：用二阶导数验证极值类型，还要和定义域端点的函数值对比，确定全局最值。

8. 练习题 (IB Math AA SL 风格)

题1

求函数$f(x)=\sqrt{4x^2+5}$在$x=1$处的导数值。 解答：将函数改写为$f(x)=(4x^2+5{)}^{1/2}$，用链式法则求导： $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(4x^2+5{)}^{-1/2}\times 8x=\frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}}$$ 代入$x=1$得$f^{\prime }(1)=\frac{4}{\sqrt{4+5}}=\frac{4}{3}$。

题2

计算定积分${\int }_0^2(3x^2+2x+1)dx$的值。 解答：先求原函数$F(x)=x^3+x^2+x$，代入上下限： $$F(2)-F(0)=(8+4+2)-0=14$$

题3

某工厂生产$x$件产品的总成本为$C(x)=0.01x^2+10x+1000$，每件售价30元，求利润最大时的产量。 解答：利润函数$P(x)=30x-C(x)=-0.01x^2+20x-1000$，求导得$P^{\prime }(x)=-0.02x+20$，令$P^{\prime }(x)=0$得$x=1000$。二阶导$P^{\prime \prime }(x)=-0.02<0$为极大值，因此产量为1000件时利润最大。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

微积分是IB AA SL的核心基础，后续统计模块的概率分布计算、Paper 2的综合应用题都会用到微积分的逻辑，熟练掌握本单元的公式和解题步骤，是拿到6-7分的必要前提。本单元的考点固定，题型重复率高，多刷真题就能快速提分。 如果你在刷题时遇到任何微积分相关的问题，或者有知识点搞不懂，都可以随时找小欧提问，我们会给你针对性的讲解和配套练习。