# 微积分

> IB 数学：分析与方法 高级水平 · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-overview/
> 占比: 占考试总分的 24-26%

本单元涵盖IB AA HL要求的全部微积分内容，从基础极限到高级微分方程和泰勒级数。它是IB AA HL考试中占比最大、权重最高的主题。

**先修:** [掌握第二单元：函数中的函数、三角学、指数和对数知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-overview/)

## 学习目标

- 理解支撑整个微积分的极限、导数和积分的核心基础概念
- 对各类函数运用全套求导和积分技巧
- 解决实际和抽象应用问题，包括最优化、面积/体积计算和微分方程
- 掌握获得考试高分所需的HL专属微积分主题
- 通过微积分基本定理建立求导与积分之间的联系

## 单元概览

本单元遵循清晰、逻辑连贯的学习进度：我们从极限的基础概念出发，建立导数的严格定义。接着，我们先掌握基础和高级求导技巧，再学习求导的常见应用。

学完求导后，我们进入积分部分，学习核心积分技巧、积分在面积和体积计算中的应用，以及连接微积分两大核心思想的基本定理。本单元最后讲解仅HL要求的高级主题，包括反常积分、微分方程和泰勒/麦克劳林级数。

本单元包含以下子主题：
- [极限与连续性](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-limits-and-continuity/) — 介绍极限的正式定义和函数连续性的检验方法。
- [洛必达法则（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-l-h-pital-s-rule/) — 使用这个基于导数的高效法则计算不定式极限。
- [导数的定义](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-definition-of-the-derivative/) — 使用极限定义从第一性原理推导导数。
- [求导法则](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-differentiation-rules/) — 掌握所有常见核心函数求导的核心法则。
- [隐函数、参数函数和对数求导](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-implicit-parametric-and-logarithmic-differentiation/) — 适用于非显式函数的高级求导技巧。
- [高阶导数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-higher-order-derivatives/) — 计算任意函数的一阶、二阶和高阶导数。
- [求导的应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-differentiation/) — 解决切线/法线、最优化和相关变化率问题。
- [不定积分与定积分](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-indefinite-and-definite-integration/) — 介绍作为求导逆运算的积分和定积分。
- [积分技巧：换元、分部积分、部分分式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-integration-techniques-substitution-parts-partial/) — 掌握所有考试题目要求的三种核心积分方法。
- [反常积分（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-improper-integrals/) — 计算拥有无穷区间或不连续被积函数的积分。
- [积分的应用：面积与体积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-integration-area-and/) — 计算曲线间的面积和旋转体体积。
- [微积分与运动学](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-kinematics-with-calculus/) — 利用求导与积分建立位移、速度、加速度之间的关系，并求解变加速度问题。
- [一阶微分方程（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-first-order-differential-equations/) — 求解并解释可分离和齐次一阶微分方程。
- [二阶线性微分方程（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-second-order-linear-differential-equations/) — 求解齐次和非齐次二阶线性微分方程。
- [麦克劳林级数与泰勒级数（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-maclaurin-and-taylor-series/) — 将函数展开为幂级数，并用级数近似函数。
- [微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u5-fundamental-theorem-of-calculus/) — 建立求导与积分之间的正式联系。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用u换元法时忘记调整积分上下限
  - 原因: 这是考试中最常见的错误之一，即使你的原函数正确，也会得到错误答案
  - 正确做法: 换元时一定要将积分上下限转换为新变量的范围
- **错误做法:** 混淆复合函数的乘积法则和链式法则
  - 原因: 很多学生在对复合函数的乘积求导时误用法则
  - 正确做法: 先对内部函数使用链式法则，再对乘积使用乘积法则
- **错误做法:** 错误建立旋转体体积的积分
  - 原因: 学生经常混淆绕x轴和绕y轴旋转的公式，或者忘记减去内部曲线的部分
  - 正确做法: 求解前一定要画出区域，确认积分建立正确

## 速查表

| 概念 / 核心公式 | 说明 |
| --- | --- |
| 导数第一性原理定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ |
| 分部积分法 | $\int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx$ |
| 微积分基本定理 | $\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$ |
| 洛必达法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ |
| 旋转体体积（绕x轴） | $V = \pi \int_a^b y^2 dx$ |
| 可分离一阶微分方程 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \implies \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx$ |
| 泰勒级数（中心在 $a$） | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ |

## 下一步

从基础主题极限与连续性开始学习本单元，它是所有后续微积分概念的基础。完成本单元所有子主题后，你可以进入下一单元概率与统计的学习。下方链接会带你前往本单元的第一个子主题和下一单元的开篇。

- [极限与连续性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-limits-and-continuity/)
- [洛必达法则（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-l-h-pital-s-rule/)
- [导数的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-definition-of-the-derivative/)

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